Encontre os quatro primeiros termos não nulos da série de potências para a solução do problema de valor inicial
e
Escolha uma opção:
a. Consegui resolver
b. Não sei como resolver
Passo 1
O que o problema pede e o que é dado. O problema pede: encontrar os quatro primeiros termos não nulos da série de potências da solução da equação diferencial com as condições iniciais. As informações dadas são:
Queremos a série de potências de
centrada em
e extrair os quatro primeiros termos que sejam diferentes de zero.
Passo 2
Estratégia (sem resolver ainda): vamos assumir que a solução
tem desenvolvimento em série de potências em torno de
,
usar as condições iniciais para obter
e
, derivar para obter
e
, substituir tudo na equação diferencial e igualar coeficientes de potências de
. Isso nos dá recorrência para os coeficientes
. Vou explicar cada passo e cada fórmula que uso.
Passo 3
Expressões das derivadas em série (troca de índice explicada).
Se
Se
então diferenciando termo a termo:
Para trabalhar com coeficientes de
é útil reindexar:
Do mesmo modo para a segunda derivada:
Explicação curta da reindexação: substituímos
ou
para escrever tudo como soma em
, que facilita igualar coeficientes.
Passo 4
Expansão de
em potências de
.
Usando a forma reindexada de :
Usando a forma reindexada de
O primeiro termo é
O segundo termo é
onde na última igualdade fizemos a mudança
e reconhecemos que para
o termo
é zero (é a mesma forma original). Portanto, o coeficiente do termo
em
é
Passo 5
Expansão de
por convolução de séries.
Temos e, como reescrevemos,
Temos
O produto tem coeficiente para
dado pela soma convolutiva
Explicação: cada termo
de
multiplica o termo
de
e somamos para todos
que somam potência
.
Passo 6
Escrevendo a condição de anulação dos coeficientes e obtendo a recorrência.
A equação diferencial exige que o coeficiente de cada seja zero. Juntando as contribuições de
, de
e de
(que contribui com
em
), obtemos para todo
:
A equação diferencial exige que o coeficiente de cada
Agrupando
, temos a recorrência:
Dessa forma podemos calcular
a partir dos coeficientes anteriores.
Passo 7
Aplicando a recorrência: cálculo de
e
pelas condições iniciais.
Pelas condições iniciais,
Pelas condições iniciais,
Passo 8
Cálculo de
usando
.
Para a recorrência dá:
Para
O lado direito é
. Logo
Passo 9
Cálculo de
usando
.
Para :
Para
Avaliaremos os termos:
. A soma é
,
. Assim
Como
, então
e
Passo 10
Cálculo de
usando
.
Para :
Para
Aqui
. A soma tem termos:
k=0: ;
k=1: ;
k=2: .
Portanto
k=0:
k=1:
k=2:
Portanto
Substituindo
,
,
,
logo
Passo 11
Cálculo de
usando
.
Para :
Para
Aqui
. A soma é:
k=0: ;
k=1: ;
k=2: ;
k=3: .
Logo
k=0:
k=1:
k=2:
k=3:
Logo
Com
,
,
,
,
portanto
Passo 12
Verificação (opcional e curta) e conclusão dos primeiros termos não nulos.
Já temos os coeficientes iniciais:
Já temos os coeficientes iniciais:
Os primeiros quatro termos não nulos da série de potências são, portanto, os termos correspondentes a
.