Encontre os quatro primeiros termos não nulos da série de potências para a solução do problema de valor inicial
e
Escolha uma opção:
a. Consegui resolver
b. Não sei como resolver
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os quatro primeiros termos não nulos da série de potências da solução do problema de valor inicial
com condições iniciais
Informações relevantes dadas: a equação diferencial linear de segunda ordem e as condições em
. Queremos a expansão em potências de
(pois as condições são em
) e só os quatro primeiros termos não nulos.
Passo 2
Mudança de variável para simplificar a expansão em torno de
. Defino
então
corresponde a
. Escreverei a solução como série em potências de
. As derivadas em
são as mesmas em
, portanto a equação fica (substituindo
):
Passo 3
Usar a identidade trigonométrica
. Assim a equação vira
Este passo é só manipulação de função trigonométrica para trabalhar com potências de
.
Passo 4
Proponho uma solução em série de potências centrada em
:
Aqui
são os coeficientes que queremos determinar; em particular as condições iniciais em
(ou
) dão
Passo 5
Calcule a segunda derivada em série: derivando termo a termo,
onde fiz a mudança de índice
para alinhar potências
.
Passo 6
Expanda
em série de potências (fórmula padrão do seno):
Vou escrever os coeficientes notando que só aparecem potências ímpares: coeficiente de
é
, de
é
, de
é
, etc.
Passo 7
Forme o produto
. Se escrevemos
então o coeficiente de
no produto é
Na equação
igualamos coeficientes de
:
Isto é a recorrência que permite calcular os
a partir dos anteriores.
Passo 8
Calculemos coeficientes passo a passo usando
e
. Lembre que os
são nulos para
par e
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
(Se quiser continuar: para
encontra-se
e
, mas não precisamos disso para os quatro primeiros termos não nulos.)
Passo 9
Agora escrevemos os termos não nulos encontrados, lembrando que
:
Portanto os primeiros quatro termos não nulos em potências de
são os termos de ordem
.