Encontre os quatro primeiros termos não nulos da série de potências para a solução do problema de valor inicial y^{\prime \prime}-(\sin x) y=0
y(\pi)=1 e y^{\prime}(\pi)=0
Escolha uma opção:
\bigcirc a. Consegui resolver
\bigcirc b. Não sei como resolver

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os quatro primeiros termos não nulos da série de potências da solução do problema de valor inicial
y''-(\sin x)\,y=0,
com condições iniciais
y(\pi)=1,\qquad y'(\pi)=0.
Informações relevantes dadas: a equação diferencial linear de segunda ordem e as condições em x=\pi. Queremos a expansão em potências de x-\pi (pois as condições são em x=\pi) e só os quatro primeiros termos não nulos.

Passo 2

Mudança de variável para simplificar a expansão em torno de x=\pi. Defino
t = x-\pi,
então t=0 corresponde a x=\pi. Escreverei a solução como série em potências de t. As derivadas em x são as mesmas em t, portanto a equação fica (substituindo x=\pi+t):
y''(t)-\sin(\pi+t)\,y(t)=0.

Passo 3

Usar a identidade trigonométrica \sin(\pi+t)=-\sin t. Assim a equação vira
y''(t)+\sin t\;y(t)=0.
Este passo é só manipulação de função trigonométrica para trabalhar com potências de t.

Passo 4

Proponho uma solução em série de potências centrada em t=0:
y(t)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n t^n.
Aqui a_n são os coeficientes que queremos determinar; em particular as condições iniciais em x=\pi (ou t=0) dão
y(0)=a_0=1,\qquad y'(0)=a_1=0.

Passo 5

Calcule a segunda derivada em série: derivando termo a termo,
y''(t)=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_n t^{n-2} = \sum_{m=0}^{\infty} (m+2)(m+1)a_{m+2} t^{m},
onde fiz a mudança de índice m=n-2 para alinhar potências t^m.

Passo 6

Expanda \sin t em série de potências (fórmula padrão do seno):
\sin t = t - \frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!} - \frac{t^7}{7!} + \cdots.
Vou escrever os coeficientes notando que só aparecem potências ímpares: coeficiente de t^1 é 1, de t^3 é -\tfrac{1}{6}, de t^5 é \tfrac{1}{120}, etc.

Passo 7

Forme o produto (\sin t)\,y(t). Se escrevemos
\sin t=\sum_{p\ge0} s_p t^p,\qquad y(t)=\sum_{q\ge0} a_q t^q,
então o coeficiente de t^m no produto é
b_m=\sum_{p+q=m} s_p a_q.
Na equação y''(t)+\sin t\;y(t)=0 igualamos coeficientes de t^m:
(m+2)(m+1)a_{m+2}+b_m=0\quad\Rightarrow\quad a_{m+2}=-\frac{b_m}{(m+2)(m+1)}.
Isto é a recorrência que permite calcular os a_n a partir dos anteriores.

Passo 8

Calculemos coeficientes passo a passo usando a_0=1 e a_1=0. Lembre que os s_p são nulos para p par e s_1=1,\;s_3=-\tfrac{1}{6},\;s_5=\tfrac{1}{120},\ldots
  • Para m=0:
b_0 = s_0 a_0 = 0\cdot 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad a_2 = -\frac{0}{2\cdot1}=0.
  • Para m=1:
b_1 = s_1 a_0 + s_0 a_1 = 1\cdot 1 + 0\cdot 0 = 1
a_3 = -\frac{b_1}{3\cdot 2} = -\frac{1}{6}.
  • Para m=2:
b_2 = s_2 a_0 + s_1 a_1 + s_0 a_2 = 0\cdot1 + 1\cdot0 + 0\cdot0 = 0
a_4 = -\frac{0}{4\cdot3}=0.
  • Para m=3:
b_3 = s_3 a_0 + s_2 a_1 + s_1 a_2 + s_0 a_3 = \left(-\frac{1}{6}\right)\cdot1 + 0 + 1\cdot0 + 0\cdot\left(-\tfrac{1}{6}\right) = -\frac{1}{6}
a_5 = -\frac{b_3}{5\cdot4} = -\frac{-1/6}{20} = \frac{1}{120}.
  • Para m=4:
b_4 = s_4 a_0 + s_3 a_1 + s_2 a_2 + s_1 a_3 + s_0 a_4 = 0 + \left(-\tfrac{1}{6}\right)\cdot0 + 0 + 1\cdot\left(-\tfrac{1}{6}\right) + 0 = -\frac{1}{6}
a_6 = -\frac{b_4}{6\cdot5} = -\frac{-1/6}{30} = \frac{1}{180}.
(Se quiser continuar: para m=5 encontra-se b_5=\tfrac{1}{120} e a_7=-\tfrac{1}{5040}, mas não precisamos disso para os quatro primeiros termos não nulos.)

Passo 9

Agora escrevemos os termos não nulos encontrados, lembrando que t=x-\pi:
a_0=1,\quad a_3=-\tfrac{1}{6},\quad a_5=\tfrac{1}{120},\quad a_6=\tfrac{1}{180},\ldots
Portanto os primeiros quatro termos não nulos em potências de x-\pi são os termos de ordem 0,3,5,6.

Resposta

y(x)=1-\frac{1}{6}(x-\pi)^3+\frac{1}{120}(x-\pi)^5+\frac{1}{180}(x-\pi)^6+\cdots

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