Quais dos seguintes conjunto
abaixo são subespaços vetoriais de
?
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
A pergunta é:
é um subespaço vetorial de
ou não?
Informações relevantes fornecidas: a descrição de por desigualdades entre as componentes
. Não há mais dados (por exemplo, restrição de dimensão ou base).
Informações relevantes fornecidas: a descrição de
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar claramente (passo a passo, sem pular nada) o que é preciso verificar para decidir se um conjunto
é subespaço vetorial. Um subconjunto
é subespaço de
se, e somente se, as três propriedades abaixo forem verdadeiras:
-
não está vazio e contém o vetor nulo . -
é fechado sob adição: para quaisquer , deve valer . -
é fechado sob multiplicação por escalar: para qualquer e qualquer escalar , deve valer .
Vou explicar por que cada uma importa, de forma prática:
- Contém o zero: todo subespaço tem que ter
, porque subespaço é espaço vetorial por si só, e todo espaço vetorial tem o vetor nulo. - Fechamento sob adição: pegar dois vetores válidos e somá-los não pode sair do conjunto.
- Fechamento por escalares: multiplicar por QUALQUER número real também não pode sair do conjunto (isso inclui negativos, zero e positivos). Este ponto costuma ser a “pegadinha” em conjuntos definidos por desigualdades.
Passo 3
Verificação da presença do vetor nulo:
O vetor nulo é . Substituindo nas desigualdades temos
, o que é verdade. Logo
. Portanto a propriedade 1 está satisfeita.
O vetor nulo é
Passo 4
Verificação do fechamento por adição (explicação completa, passo a passo):
Sejam e
. Pelas hipóteses,
Sejam
Somando membro a membro as duas desigualdades correspondentes, obtemos
Isto mostra que o vetor soma
satisfaz
ou seja,
. Portanto
é fechado sob adição. (Observação didática: desigualdades do tipo
e
podem ser somadas para obter
; aqui usamos exatamente isso.)
Passo 5
Verificação do fechamento por multiplicação por escalar (explicação passo a passo e construção do contraexemplo):
Pegue um vetor genérico , isto é,
. Multiplicando por um escalar
obtemos
.
Pegue um vetor genérico
Agora pense no efeito de
sobre as desigualdades:
- Se
, ao multiplicar por as desigualdades mantêm a direção: de resulta . Então escalares positivos preservam a condição. - Se
, então e já vimos que . Também sem problema. - Mas se
, a multiplicação por inverte as desigualdades: de resulta . Ou seja, em geral não teremos quando é negativo — a ordem das componentes fica invertida.
Para ficar bem concreto (isso ajuda muito na prova): escolha um vetor de
fácil, por exemplo
De fato
, então
. Agora escolha o escalar
(qualquer número negativo serve). Multiplicando:
Verifique as desigualdades para este novo vetor: precisamos de
para que
. Mas
é falso (na verdade
). Logo
.
Conclusão desta etapa: existe
e
(por exemplo
e
) tais que
. Portanto
não é fechado sob multiplicação por escalares.
Passo 6
Conclusão final a partir das verificações:
-
contém o vetor nulo (ok). -
é fechado sob adição (ok). -
não é fechado sob multiplicação por escalar (falha para escalares negativos).
Como bastar que uma das propriedades falhe para que o conjunto deixe de ser subespaço, concluímos que
não é subespaço vetorial de
. Não morreu nenhuma dúvida: a propriedade que falha é a do fechamento por escalar, devido à inversão das desigualdades quando o escalar é negativo — isso é a essência do contraexemplo.