Quais dos seguintes conjunto W abaixo são subespaços vetoriais de \mathbb{R}^{3} ?
W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x \leq y \leq z\right\}

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
W = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \; ; \; x \le y \le z\}.
A pergunta é: W é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3 ou não?
Informações relevantes fornecidas: a descrição de W por desigualdades entre as componentes (x,y,z). Não há mais dados (por exemplo, restrição de dimensão ou base).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar claramente (passo a passo, sem pular nada) o que é preciso verificar para decidir se um conjunto W\subseteq\mathbb{R}^3 é subespaço vetorial. Um subconjunto W é subespaço de \mathbb{R}^3 se, e somente se, as três propriedades abaixo forem verdadeiras:
  1. W não está vazio e contém o vetor nulo \mathbf{0}=(0,0,0).
  2. W é fechado sob adição: para quaisquer \mathbf{u},\mathbf{v}\in W, deve valer \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar: para qualquer \mathbf{v}\in W e qualquer escalar \alpha\in\mathbb{R}, deve valer \alpha\mathbf{v}\in W.
Vou explicar por que cada uma importa, de forma prática:
  • Contém o zero: todo subespaço tem que ter \mathbf{0}, porque subespaço é espaço vetorial por si só, e todo espaço vetorial tem o vetor nulo.
  • Fechamento sob adição: pegar dois vetores válidos e somá-los não pode sair do conjunto.
  • Fechamento por escalares: multiplicar por QUALQUER número real também não pode sair do conjunto (isso inclui negativos, zero e positivos). Este ponto costuma ser a “pegadinha” em conjuntos definidos por desigualdades.

Passo 3

Verificação da presença do vetor nulo:
O vetor nulo é \mathbf{0}=(0,0,0). Substituindo nas desigualdades temos 0 \le 0 \le 0, o que é verdade. Logo \mathbf{0}\in W. Portanto a propriedade 1 está satisfeita.

Passo 4

Verificação do fechamento por adição (explicação completa, passo a passo):
Sejam \mathbf{u}=(x_1,y_1,z_1)\in W e \mathbf{v}=(x_2,y_2,z_2)\in W. Pelas hipóteses,
x_1 \le y_1 \le z_1 \qquad\text{e}\qquad x_2 \le y_2 \le z_2.
Somando membro a membro as duas desigualdades correspondentes, obtemos
x_1+x_2 \le y_1+y_2 \qquad\text{e}\qquad y_1+y_2 \le z_1+z_2.
Isto mostra que o vetor soma \mathbf{u}+\mathbf{v}=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2) satisfaz
x_1+x_2 \le y_1+y_2 \le z_1+z_2,
ou seja, \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W. Portanto W é fechado sob adição. (Observação didática: desigualdades do tipo a\le b e c\le d podem ser somadas para obter a+c\le b+d; aqui usamos exatamente isso.)

Passo 5

Verificação do fechamento por multiplicação por escalar (explicação passo a passo e construção do contraexemplo):
Pegue um vetor genérico \mathbf{v}=(x,y,z)\in W, isto é, x\le y\le z. Multiplicando por um escalar \alpha\in\mathbb{R} obtemos \alpha\mathbf{v}=(\alpha x,\alpha y,\alpha z).
Agora pense no efeito de \alpha sobre as desigualdades:
  • Se \alpha>0, ao multiplicar por \alpha as desigualdades mantêm a direção: de x\le y\le z resulta \alpha x \le \alpha y \le \alpha z. Então escalares positivos preservam a condição.
  • Se \alpha=0, então \alpha\mathbf{v}=\mathbf{0} e já vimos que \mathbf{0}\in W. Também sem problema.
  • Mas se \alpha<0, a multiplicação por \alpha inverte as desigualdades: de x\le y\le z resulta \alpha x \ge \alpha y \ge \alpha z. Ou seja, em geral não teremos \alpha x \le \alpha y \le \alpha z quando \alpha é negativo — a ordem das componentes fica invertida.
Para ficar bem concreto (isso ajuda muito na prova): escolha um vetor de W fácil, por exemplo
\mathbf{v} = (1,2,3).
De fato 1 \le 2 \le 3, então \mathbf{v}\in W. Agora escolha o escalar \alpha = -1 (qualquer número negativo serve). Multiplicando:
\alpha\mathbf{v} = -1\cdot(1,2,3) = (-1,-2,-3).
Verifique as desigualdades para este novo vetor: precisamos de -1 \le -2 \le -3 para que -1,-2,-3\in W. Mas -1 \le -2 é falso (na verdade -1 > -2). Logo -1\cdot\mathbf{v}\notin W.
Conclusão desta etapa: existe \mathbf{v}\in W e \alpha\in\mathbb{R} (por exemplo \mathbf{v}=(1,2,3) e \alpha=-1) tais que \alpha\mathbf{v}\notin W. Portanto W não é fechado sob multiplicação por escalares.

Passo 6

Conclusão final a partir das verificações:
  • W contém o vetor nulo (ok).
  • W é fechado sob adição (ok).
  • W não é fechado sob multiplicação por escalar (falha para escalares negativos).
Como bastar que uma das propriedades falhe para que o conjunto deixe de ser subespaço, concluímos que W não é subespaço vetorial de \mathbb{R}^3. Não morreu nenhuma dúvida: a propriedade que falha é a do fechamento por escalar, devido à inversão das desigualdades quando o escalar é negativo — isso é a essência do contraexemplo.

Resposta

W não é subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.

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