Seja
o conjunto dos pares ordenados de números reais.
não é um espaço vetorial em relação a seguinte operação sobre
:
Diga em caso quais das 8 condições não se verifica.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
dos pares ordenados de números reais com as operações:
A pergunta é: entre as 8 condições (axiomas) que definem um espaço vetorial, em quais delas a estrutura acima NÃO satisfaz as propriedades exigidas? Vou verificar cada uma das 8 condições explicitamente.
Passo 2
Aqui estão as 8 condições (axiomas) que vou checar, escritas de forma direta (cada uma é necessária para
ser espaço vetorial sobre
):
Vou conferir uma a uma, mostrando os cálculos e explicando de forma didática por que cada uma vale ou não.
Passo 3
Verificando a (1) comutatividade da adição. Tome
e
.
Como a soma de números reais é comutativa (
e
), temos
. Logo, a condição (1) é satisfeita.
Explicação didática rápida: a adição aqui é a soma componente a componente, exatamente como na reta bidimensional usual, então seria estranho se não fosse comutativa — e não é.
Passo 4
Verificando a (2) associatividade da adição. Tome
,
,
.
Calcule :
Calcule
Calcule
:
Ambos são iguais, por associatividade da soma real componente a componente. Logo, (2) vale.
Didática: associatividade na forma componente a componente é só associatividade dos números reais.
Passo 5
Verificando a (3) existência de identidade aditiva. Procuramos
tal que
para todo
. O candidato natural é
. De fato,
Portanto, (3) vale.
Passo 6
Verificando a (4) existência de inverso aditivo. Para
o inverso usual é
. Então
que é a identidade aditiva. Logo (4) vale.
Didática: nada de mágico aqui — a inversa é obtida componente a componente.
Passo 7
Verificando a (5) compatibilidade com produto escalar, isto é
. Calcule cada lado:
Os dois lados coincidem, logo (5) vale.
Explicação: a multiplicação escalar aqui só age na segunda componente, mas como é multiplicação real, a associatividade dos escalares garante a igualdade.
Passo 8
Verificando a (6) identidade escalar
. Pela definição:
Portanto, (6) vale.
Passo 9
Verificando a (7) distributividade da multiplicação escalar sobre a soma de vetores:
. Tome
e
.
Por outro lado,
Logo, (7) vale.
Didática: a primeira componente permanece soma normal, a segunda componente respeita a distributividade graças à distributividade na
.
Passo 10
Verificando a (8) distributividade da multiplicação escalar em relação à soma de escalares:
. Tome
. Calcule cada lado:
Lado esquerdo:
Lado direito:
Comparando, o segundo componente coincide
, mas o primeiro componente é
no lado esquerdo e
no lado direito. Esses são iguais para todo
somente se
. Portanto, para vetores com
a igualdade falha. Um contraexemplo numérico simples: tome
e
.
Como
, a condição (8) não é satisfeita.
Didática: a raiz do problema é que a multiplicação escalar definida deixa a primeira componente inalterada; ao somar
com
essa primeira componente aparece duas vezes, enquanto
só traz uma vez a primeira componente. Por isso a distributividade em relação à soma de escalares falha.
Passo 11
Conclusão: como a propriedade (8) não é satisfeita, a estrutura não é espaço vetorial. Observação adicional (útil para prova): muitos enunciados pedem um contraexemplo concreto — aqui
e
é um contraexemplo direto. Outra consequência prática que mostra a estranheza da definição:
, que em geral não é o vetor zero
; isso também indica incompatibilidade com propriedades usuais de espaços vetoriais (essa igualdade seria uma consequência dos axiomas, mas não vale aqui).
Resposta
A condição que não se verifica é a (8):
.