Seja V o conjunto dos pares ordenados de números reais. V não é um espaço vetorial em relação a seguinte operação sobre V :
\left(x_{1}, y_{1}\right)+\left(x_{2}, y_{2}\right)=\left(x_{1}+x_{2}, y_{1}+y_{2}\right) \text { e } \alpha(x, y)=(x, \alpha y) .
Diga em caso quais das 8 condições não se verifica.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto V dos pares ordenados de números reais com as operações:
\text{adição: }\\ (x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2})çã
\text{multiplicação por escalar: }\\ \alpha(x,y)=(x,\alpha y).çã
A pergunta é: entre as 8 condições (axiomas) que definem um espaço vetorial, em quais delas a estrutura acima NÃO satisfaz as propriedades exigidas? Vou verificar cada uma das 8 condições explicitamente.

Passo 2

Aqui estão as 8 condições (axiomas) que vou checar, escritas de forma direta (cada uma é necessária para V ser espaço vetorial sobre \mathbb{R}):
\text{(1) } u+v = v+u \quad\text{(comutatividade da adição)}çã
\text{(2) } (u+v)+w = u+(v+w) \quad\text{(associatividade da adição)}çã
\text{(3) } \exists\,0\in V\\ \text{tal que } v+0=v \quad\text{(identidade aditiva)}
\text{(4) } \forall v\in V\\ \exists\,(-v)\in V\\ \text{tal que } v+(-v)=0 \quad\text{(inverso aditivo)}
\text{(5) } (\alpha\beta)v = \alpha(\beta v) \quad\text{(compatibilidade com produto escalar)}
\text{(6) } 1\cdot v = v \quad\text{(elemento unitário do corpo age como identidade)}á
\text{(7) } \alpha(u+v)=\alpha u + \alpha v \quad\text{(distributividade em relação à adição de vetores)}çãàçã
\text{(8) } (\alpha+\beta)v = \alpha v + \beta v \quad\text{(distributividade em relação à adição de escalares)}çãàçã
Vou conferir uma a uma, mostrando os cálculos e explicando de forma didática por que cada uma vale ou não.

Passo 3

Verificando a (1) comutatividade da adição. Tome u=(x_{1},y_{1}) e v=(x_{2},y_{2}).
u+v=(x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2})
v+u=(x_{2}+x_{1},\,y_{2}+y_{1})
Como a soma de números reais é comutativa ( x_{1}+x_{2}=x_{2}+x_{1} e y_{1}+y_{2}=y_{2}+y_{1}), temos u+v=v+u. Logo, a condição (1) é satisfeita.
Explicação didática rápida: a adição aqui é a soma componente a componente, exatamente como na reta bidimensional usual, então seria estranho se não fosse comutativa — e não é.

Passo 4

Verificando a (2) associatividade da adição. Tome u=(x_{1},y_{1}), v=(x_{2},y_{2}), w=(x_{3},y_{3}).
Calcule (u+v)+w:
u+v=(x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2})
(u+v)+w=(x_{1}+x_{2}+x_{3},\,y_{1}+y_{2}+y_{3})
Calcule u+(v+w):
v+w=(x_{2}+x_{3},\,y_{2}+y_{3})
u+(v+w)=(x_{1}+x_{2}+x_{3},\,y_{1}+y_{2}+y_{3})
Ambos são iguais, por associatividade da soma real componente a componente. Logo, (2) vale.
Didática: associatividade na forma componente a componente é só associatividade dos números reais.

Passo 5

Verificando a (3) existência de identidade aditiva. Procuramos 0\in V tal que (x,y)+0=(x,y) para todo (x,y). O candidato natural é 0=(0,0). De fato,
(x,y)+(0,0)=(x+0,\,y+0)=(x,y).
Portanto, (3) vale.

Passo 6

Verificando a (4) existência de inverso aditivo. Para (x,y) o inverso usual é (-x,-y). Então
(x,y)+(-x,-y)=(x-x,\,y-y)=(0,0),
que é a identidade aditiva. Logo (4) vale.
Didática: nada de mágico aqui — a inversa é obtida componente a componente.

Passo 7

Verificando a (5) compatibilidade com produto escalar, isto é (\alpha\beta)(x,y)=\alpha(\beta(x,y)). Calcule cada lado:
(\alpha\beta)(x,y)=(x,(\alpha\beta) y).
\beta(x,y)=(x,\beta y)\quad\Rightarrow\quad \alpha(\beta(x,y))=\alpha(x,\beta y)=(x,\alpha(\beta y))=(x,(\alpha\beta) y).
Os dois lados coincidem, logo (5) vale.
Explicação: a multiplicação escalar aqui só age na segunda componente, mas como é multiplicação real, a associatividade dos escalares garante a igualdade.

Passo 8

Verificando a (6) identidade escalar 1\cdot (x,y)=(x,y). Pela definição:
1\cdot(x,y)=(x,1\cdot y)=(x,y).
Portanto, (6) vale.

Passo 9

Verificando a (7) distributividade da multiplicação escalar sobre a soma de vetores: \alpha(u+v)=\alpha u + \alpha v. Tome u=(x_{1},y_{1}) e v=(x_{2},y_{2}).
u+v=(x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2})
\alpha(u+v)=(x_{1}+x_{2},\,\alpha(y_{1}+y_{2}))
Por outro lado,
\alpha u + \alpha v = (x_{1},\alpha y_{1}) + (x_{2},\alpha y_{2}) = (x_{1}+x_{2},\,\alpha y_{1}+\alpha y_{2}) = (x_{1}+x_{2},\,\alpha(y_{1}+y_{2})).
Logo, (7) vale.
Didática: a primeira componente permanece soma normal, a segunda componente respeita a distributividade graças à distributividade na \mathbb{R}.

Passo 10

Verificando a (8) distributividade da multiplicação escalar em relação à soma de escalares: (\alpha+\beta)v = \alpha v + \beta v. Tome v=(x,y). Calcule cada lado:
Lado esquerdo:
(\alpha+\beta)(x,y) = (x,(\alpha+\beta)y).
Lado direito:
\alpha v + \beta v = (x,\alpha y) + (x,\beta y) = (x+x,\,\alpha y + \beta y) = (2x,\,(\alpha+\beta)y).
Comparando, o segundo componente coincide (\alpha+\beta)y, mas o primeiro componente é x no lado esquerdo e 2x no lado direito. Esses são iguais para todo x somente se x=0. Portanto, para vetores com x\neq 0 a igualdade falha. Um contraexemplo numérico simples: tome \alpha=\beta=1 e v=(1,1).
(\alpha+\beta)v = 2\cdot(1,1)=(1,2),
\alpha v + \beta v = (1,1)+(1,1)=(2,2).
Como (1,2)\neq(2,2), a condição (8) não é satisfeita.
Didática: a raiz do problema é que a multiplicação escalar definida deixa a primeira componente inalterada; ao somar \alpha v com \beta v essa primeira componente aparece duas vezes, enquanto (\alpha+\beta)v só traz uma vez a primeira componente. Por isso a distributividade em relação à soma de escalares falha.

Passo 11

Conclusão: como a propriedade (8) não é satisfeita, a estrutura não é espaço vetorial. Observação adicional (útil para prova): muitos enunciados pedem um contraexemplo concreto — aqui \alpha=\beta=1 e v=(1,1) é um contraexemplo direto. Outra consequência prática que mostra a estranheza da definição: 0\cdot(x,y)=(x,0), que em geral não é o vetor zero (0,0); isso também indica incompatibilidade com propriedades usuais de espaços vetoriais (essa igualdade seria uma consequência dos axiomas, mas não vale aqui).

Resposta

A condição que não se verifica é a (8): (\alpha+\beta)v = \alpha v + \beta v.

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