Quais dos seguintes conjunto W abaixo são subespaços vetoriais de \mathbb{R}^{3} ?
W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; y \in \mathbb{I}\right\}.

Passo 1

O enunciado pergunta se o conjunto W abaixo é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}:
W=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\;:\;y\in\mathbb{I}\right\}.
Informações relevantes dadas:
  • Um vetor genérico de \mathbb{R}^{3} é (x,y,z).
  • A condição que define W é que a coordenada do meio y pertence a \mathbb{I} (o enunciado usou o símbolo \mathbb{I}).
  • A pergunta é única: determinar se esse W é (ou não é) subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}.

Passo 2

O que significa ser subespaço vetorial? Vou explicar passo a passo e com calma (como se estivéssemos estudando juntos antes da prova).
Critérios que um subconjunto S\subseteq\mathbb{R}^3 precisa satisfazer para ser subespaço vetorial:
  1. S não pode ser vazio; em particular, deve conter o vetor nulo (0,0,0). Vou explicar por que: o conjunto de vetores de um espaço vetorial sempre contém o vetor nulo, porque \mathbf{0}=0\cdot \mathbf{v} para qualquer \mathbf{v} do espaço — então se S é fechado por multiplicação escalar, tem que ter \mathbf{0}.
  2. Fechamento por soma: se \mathbf{u}\in S e \mathbf{v}\in S, então \mathbf{u}+\mathbf{v}\in S.
  3. Fechamento por multiplicação escalar: se \mathbf{u}\in S e \alpha\in\mathbb{R}, então \alpha\mathbf{u}\in S.
    Esses três itens são suficientes para concluir que S é subespaço (no contexto de \mathbb{R}^n). Vou usar esses critérios para testar W.

Passo 3

Verificação do vetor nulo. O vetor nulo de \mathbb{R}^{3} é (0,0,0). Para que (0,0,0) esteja em W, sua coordenada do meio y=0 teria de pertencer a \mathbb{I}. Mas 0 é um número racional. Portanto:
0\notin\mathbb{I}.
Logo (0,0,0)\notin W. Isso já é suficiente para concluir que W não é subespaço vetorial (porque todo subespaço deve conter o vetor zero). Vou explicar e reforçar com outro argumento para ficar bem claro.

Passo 4

Verificação por multiplicação escalar (um contraexemplo concreto). Escolho um vetor em W: por exemplo, (0,\sqrt{2},0). Observações:
  • \sqrt{2} é irracional, então (0,\sqrt{2},0)\in W.
    Agora multiplico esse vetor pelo escalar 0:
0\cdot(0,\sqrt{2},0)=(0,0,0).
Mas como vimos no Passo 3, (0,0,0)\notin W. Isso demonstra explicitamente que W não é fechado por multiplicação escalar: existe \alpha=0 e \mathbf{v}=(0,\sqrt{2},0)\in W tais que \alpha\mathbf{v}\notin W. Portanto W falha no critério de fechamento por escalares.

Passo 5

Comentário didático final e intuição: a condição “a segunda coordenada tem de ser irracional” é frágil para operações lineares porque somas e multiplicações por escalares podem transformar números irracionais em racionais (ex.: multiplicar por zero leva qualquer coisa a zero, que é racional). Para ser subespaço, a condição que define o conjunto precisa ser compatível com somas e multiplicações escalares de forma que o vetor zero e todas combinações lineares fiquem dentro — aqui não acontece. Então a resposta é negativa.

Resposta

W não é subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}.

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