Quais dos seguintes conjunto
abaixo são subespaços vetoriais de
?
.
Passo 1
O enunciado pergunta se o conjunto
abaixo é um subespaço vetorial de
:
Informações relevantes dadas:
- Um vetor genérico de
é . - A condição que define
é que a coordenada do meio pertence a (o enunciado usou o símbolo ). - A pergunta é única: determinar se esse
é (ou não é) subespaço vetorial de .
Passo 2
O que significa ser subespaço vetorial? Vou explicar passo a passo e com calma (como se estivéssemos estudando juntos antes da prova).
Critérios que um subconjunto precisa satisfazer para ser subespaço vetorial:
Critérios que um subconjunto
-
não pode ser vazio; em particular, deve conter o vetor nulo . Vou explicar por que: o conjunto de vetores de um espaço vetorial sempre contém o vetor nulo, porque para qualquer do espaço — então se é fechado por multiplicação escalar, tem que ter . - Fechamento por soma: se
e , então . - Fechamento por multiplicação escalar: se
e , então .
Esses três itens são suficientes para concluir queé subespaço (no contexto de ). Vou usar esses critérios para testar .
Passo 3
Verificação do vetor nulo. O vetor nulo de
é
. Para que
esteja em
, sua coordenada do meio
teria de pertencer a
. Mas
é um número racional. Portanto:
Logo
. Isso já é suficiente para concluir que
não é subespaço vetorial (porque todo subespaço deve conter o vetor zero). Vou explicar e reforçar com outro argumento para ficar bem claro.
Passo 4
Verificação por multiplicação escalar (um contraexemplo concreto). Escolho um vetor em
: por exemplo,
. Observações:
-
é irracional, então .
Agora multiplico esse vetor pelo escalar:
Mas como vimos no Passo 3,
. Isso demonstra explicitamente que
não é fechado por multiplicação escalar: existe
e
tais que
. Portanto
falha no critério de fechamento por escalares.
Passo 5
Comentário didático final e intuição: a condição “a segunda coordenada tem de ser irracional” é frágil para operações lineares porque somas e multiplicações por escalares podem transformar números irracionais em racionais (ex.: multiplicar por zero leva qualquer coisa a zero, que é racional). Para ser subespaço, a condição que define o conjunto precisa ser compatível com somas e multiplicações escalares de forma que o vetor zero e todas combinações lineares fiquem dentro — aqui não acontece. Então a resposta é negativa.