Quais dos seguintes conjuntos abaixo são subespaços do R^3 ? Justifique sua resposta.
W=(x, y, z) in R^3: x-3 z=0

Passo 1

O enunciado pede pra gente verificar se o conjunto W = (x,y,z)inR^3 mid x - 3z = 0 é um subespaço de R^3. O conteúdo é teste de subespaço, ou seja, verificar se W contém o vetor zero, se é fechado sob soma e sob multiplicação escalar.

Passo 2

Teste de vetor zero: a gente verifica se (0,0,0)in W. Como 0-3cdot0 = 0, o zero satisfaz a equação, então 0in W.

Passo 3

Fechamento por soma: pegamos u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2) em W, ou seja, x1-3z1=0 e x2-3z2=0. Então a soma é (x1+x2,,y1+y2,,z1+z2) e
(x1+x2)-3(z1+z2) = (x1-3z1)+(x2-3z2) = 0 + 0 = 0,
logo u+vin W.

Passo 4

Fechamento por multiplicação escalar: seja alphainR e u=(x,y,z)in W com x-3z=0. Então
alpha u = (alpha x,,alpha y,,alpha z)
e
alpha x - 3(alpha z) = alpha(x-3z) = alpha cdot 0 = 0,
então alpha u in W.

Resposta

O conjunto W satisfaz todos os requisitos (contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar) e, portanto, é um subespaço de R^3.

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