Seja
o conjunto dos pares ordenados de números reais (ou seja,
). Então
não é espaço vetorial em relação a nenhum dos dois seguintes pares de operações em
:
(a)
e
(c)
e
Diga, em cada caso, quais dos 8 axiomas não se verificam.
(a)
(c)
Diga, em cada caso, quais dos 8 axiomas não se verificam.
Passo 1
O enunciado considera o conjunto
e duas possíveis definições de “adição” e “multiplicação por escalar” sobre
:
(a)
(a)
(c)
Queremos verificar quais dos 8 axiomas de espaço vetorial falham em cada caso.
Passo 2
Os 8 axiomas de espaço vetorial sobre um corpo (aqui
) são:
Axioma 1. Comutatividade da soma: para todo
Axioma 1. Comutatividade da soma: para todo
Axioma 2. Associatividade da soma: para todo
Axioma 3. Existência do vetor nulo: existe
tal que
Axioma 4. Existência de inverso aditivo: para todo
existe
tal que
Axioma 5. Distributividade do escalar sobre soma de vetores: para todo
e
Axioma 6. Distributividade sobre soma de escalares: para todo
e
Axioma 7. Compatibilidade de escalares: para todo
e
Axioma 8. Identidade escalar: para todo
Passo 3
Verificação do caso (a):
– Axioma 1, 2, 3 e 4 de adição são satisfeitos pois a soma é a usual em .
– Axioma 5:
– Axioma 1, 2, 3 e 4 de adição são satisfeitos pois a soma é a usual em
– Axioma 5:
e
, logo satisfaz.
– Axioma 6:
– Axioma 6:
Em geral
, falha.
– Axioma 7 e 8 satisfazem porque a componente é “invariante” e a componente
escala normalmente.
– Axioma 7 e 8 satisfazem porque a componente
Portanto, em (a) somente falha o Axioma 6.
Passo 4
Verificação do caso (c):
– Axioma 1 (comutatividade):
– Axioma 1 (comutatividade):
e
em geral, falha.
– Axioma 2 (associatividade):
– Axioma 2 (associatividade):
aqui ambas dão
, então satisfaz.
– Axioma 3 (vetor nulo): escolhemos , pois
– Axioma 3 (vetor nulo): escolhemos
– Axioma 4 (inverso aditivo):
para não existe
tal que
, pois
. Falha.
– Axioma 5 (distributividade vetorial):
para
– Axioma 5 (distributividade vetorial):
são iguais, satisfaz.
– Axioma 6 (distributividade escalar):
– Axioma 6 (distributividade escalar):
geralmente
, falha.
– Axioma 7 e 8 satisfazem normalmente.
– Axioma 7 e 8 satisfazem normalmente.
Portanto, em (c) falham Axioma 1, Axioma 4 e Axioma 6.
Resposta
(a) falha o Axioma 6 (distributividade sobre soma de escalares).
(c) falham os Axiomas 1 (comutatividade da soma), 4 (inverso aditivo) e 6 (distributividade sobre soma de escalares).
(c) falham os Axiomas 1 (comutatividade da soma), 4 (inverso aditivo) e 6 (distributividade sobre soma de escalares).