Seja V o conjunto dos pares ordenados de números reais (ou seja, V=R^2 ). Então V não é espaço vetorial em relação a nenhum dos dois seguintes pares de operações em V:
(a) (x1, y1)+(x2, y2)=(x1+x2, y1+y2) e alpha(x, y)=(x, alpha y)
(c) (x1, y1)+(x2, y2)=(x1, y1) e alpha(x, y)=(alpha x, alpha y)
Diga, em cada caso, quais dos 8 axiomas não se verificam.

Passo 1

O enunciado considera o conjunto V=R^2 e duas possíveis definições de “adição” e “multiplicação por escalar” sobre V:
(a)
(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,;y1+y2), alphacdot(x,y)=(x,;alpha y)
(c)
(x1,y1)+(x2,y2)=(x1,y1), alphacdot(x,y)=(alpha x,;alpha y)
Queremos verificar quais dos 8 axiomas de espaço vetorial falham em cada caso.

Passo 2

Os 8 axiomas de espaço vetorial sobre um corpo (aqui R) são:
Axioma 1. Comutatividade da soma: para todo u,vin V
u+v = v+u
Axioma 2. Associatividade da soma: para todo u,v,win V
u+(v+w) = (u+v)+w
Axioma 3. Existência do vetor nulo: existe 0in V tal que
u+0 = u,forall uin V
Axioma 4. Existência de inverso aditivo: para todo uin V existe vin V tal que
u+v = 0
Axioma 5. Distributividade do escalar sobre soma de vetores: para todo alphainR e u,vin V
alpha,(u+v) = alpha u + alpha v
Axioma 6. Distributividade sobre soma de escalares: para todo alpha,betainR e uin V
(alpha+beta),u = alpha u + beta u
Axioma 7. Compatibilidade de escalares: para todo alpha,betainR e uin V
(alphabeta),u = alpha,(beta u)
Axioma 8. Identidade escalar: para todo uin V
1cdot u = u

Passo 3

Verificação do caso (a):
– Axioma 1, 2, 3 e 4 de adição são satisfeitos pois a soma é a usual em R^2.
– Axioma 5:
alpha,(u+v)=l(x1+x2,;alpha(y1+y2)r), alpha u+alpha v=l(x1+x2,;alpha y1+alpha y2r),
e alpha(y1+y2)=alpha y1+alpha y2, logo satisfaz.
– Axioma 6:
(alpha+beta),(x,y) = l(x,;(alpha+beta)yr), alpha(x,y)+beta(x,y)=l(2x,;alpha y+beta yr)
Em geral l(x,(alpha+beta)yr)neql(2x,alpha y+beta yr), falha.
– Axioma 7 e 8 satisfazem porque a componente x é “invariante” e a componente y escala normalmente.
Portanto, em (a) somente falha o Axioma 6.

Passo 4

Verificação do caso (c):
– Axioma 1 (comutatividade):
u+v = u, v+u = v,
e uneq v em geral, falha.
– Axioma 2 (associatividade):
u+(v+w) = u, (u+v)+w = u,
aqui ambas dão u, então satisfaz.
– Axioma 3 (vetor nulo): escolhemos 0=(0,0), pois
(x,y)+(0,0) = (x,y)
– Axioma 4 (inverso aditivo):
para uneq(0,0) não existe v tal que u+v=(0,0), pois u+v=u. Falha.
– Axioma 5 (distributividade vetorial):
alpha(u+v)=alpha u, alpha u+alpha v=alpha u,
são iguais, satisfaz.
– Axioma 6 (distributividade escalar):
(alpha+beta),(x,y)=(;(alpha+beta)x,;(alpha+beta)y;),
alpha(x,y)+beta(x,y)=(;alpha x,;alpha y;)+(;beta x,;beta y;)=(alpha x,alpha y),
geralmente (alpha+beta)xneqalpha x, falha.
– Axioma 7 e 8 satisfazem normalmente.
Portanto, em (c) falham Axioma 1, Axioma 4 e Axioma 6.

Resposta

(a) falha o Axioma 6 (distributividade sobre soma de escalares).
(c) falham os Axiomas 1 (comutatividade da soma), 4 (inverso aditivo) e 6 (distributividade sobre soma de escalares).

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