Verifique quais dos seguintes subconjuntos são subespaços de Mn times n(R):
o conjunto de todas as matrizes A de tamanho n times n tais que A^t=-A.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = ,A in Mntimes n(R) mid A^t = -A
é um subespaço de Mntimes n(R). Para isso, vamos usar a definição de subespaço vetorial e checar as três propriedades:
  1. 0in S.
  2. Se A,Bin S então A+Bin S.
  3. Se Ain S e alphainR então alpha Ain S.

Passo 2

Verificamos que a matriz nula 0 pertence a S. De fato,
0^t = 0 = -0,
logo 0in S.

Passo 3

Fechamento sob soma. Suponha A,Bin S, isto é, A^t=-A e B^t=-B. Então
(A+B)^t = A^t + B^t = -A + (-B) = -(A+B),
o que mostra A+Bin S.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar. Seja alphainR e Ain S com A^t=-A. Então
(alpha A)^t = alpha,A^t = alpha(-A) = -(alpha A),
logo alpha Ain S.

Resposta

O conjunto de todas as matrizes ntimes n tais que A^t=-A é um subespaço de Mntimes n(R).

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