Verifique quais dos seguintes subconjuntos são subespaços de
:
o conjunto de todas as matrizes
de tamanho
tais que
.
o conjunto de todas as matrizes
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um subespaço de
. Para isso, vamos usar a definição de subespaço vetorial e checar as três propriedades:
-
. - Se
então . - Se
e então .
Passo 2
Verificamos que a matriz nula
pertence a
. De fato,
logo
.
Passo 3
Fechamento sob soma. Suponha
, isto é,
e
. Então
o que mostra
.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação escalar. Seja
e
com
. Então
logo
.
Resposta
O conjunto de todas as matrizes
tais que
é um subespaço de
.