Qual dos seguintes conjuntos de quatro números quânticos ( n, l, m_{l}, m_{s} ) não são permitidos para um elétron em um átomo? Justificar.
\left(4,2,2,+\frac{1}{2}\right) \quad\left(4,1,0,-\frac{1}{2}\right) \quad\left(4,2,3,+\frac{1}{2}\right)

Passo 1

O enunciado pergunta quais dos três conjuntos de números quânticos abaixo NÃO são permitidos para um elétron em um átomo. Os conjuntos fornecidos são:
\left(4,2,2,+\frac{1}{2}\right),\qquad \left(4,1,0,-\frac{1}{2}\right),\qquad \left(4,2,3,+\frac{1}{2}\right)
Listei-os explicitamente para evitar confusão. A tarefa é verificar, para cada tripla \left(n,l,m_l,m_s\right), se ela respeita as regras que definem números quânticos.

Passo 2

Relembrando as regras fundamentais (com explicação bem didática):
  • n é o número quântico principal. Deve ser inteiro positivo: n=1,2,3,\dotsInterpretação: n indica o “nível” ou camada eletrônica; só existem valores inteiros e maiores ou iguais a 1.
  • l é o número quântico azimutal (ou orbital). Deve ser inteiro e satisfazer 0 \le l \le n-1.Interpretação: para um dado nível n há subníveis com l indo de 0 até n-1. Exemplos de rótulos: l=0\Rightarrow s, l=1\Rightarrow p, l=2\Rightarrow d, l=3\Rightarrow f.
  • m_l é o número quântico magnético. Deve ser inteiro e satisfazer -l \le m_l \le +l.Interpretação: para um dado l 2l+1 valores possíveis de m_l, espaçados de 1 e incluindo zero. Por exemplo, se l=2 então m_l\in\{-2,-1,0,1,2\}.
  • m_s é o número quântico de spin do elétron. Só são permitidos os dois valores m_s=+\frac{1}{2}\quad\text{ou}\quad m_s=-\frac{1}{2}.Interpretação: elétron tem spin 1/2, então apenas esses dois valores existem.
Vou usar essas regras para checar cada conjunto. Se qualquer uma das condições for violada, o conjunto é proibido.

Passo 3

Verificação do primeiro conjunto \left(4,2,2,+\frac{1}{2}\right):
  • Checar n: n=4 é inteiro e n\ge1 → OK.
  • Checar l: l=2 e 0\le l\le n-1 significa 0\le 2\le 3 → OK.
  • Checar m_l: com l=2 os valores permitidos de m_l são -2,-1,0,1,2. Aqui m_l=2 está nessa lista → OK.
  • Checar m_s: m_s=+\tfrac{1}{2} é um dos dois valores permitidos → OK.
    Conclusão: o conjunto \left(4,2,2,+\tfrac{1}{2}\right) é permitido.

Passo 4

Verificação do segundo conjunto \left(4,1,0,-\frac{1}{2}\right):
  • Checar n: n=4 é válido → OK.
  • Checar l: l=1 e 0\le 1\le 3 → OK.
  • Checar m_l: com l=1 os valores possíveis são -1,0,1. Aqui m_l=0 está permitido → OK.
  • Checar m_s: m_s=-\tfrac{1}{2} é permitido → OK.
    Conclusão: o conjunto \left(4,1,0,-\tfrac{1}{2}\right) é permitido.

Passo 5

Verificação do terceiro conjunto \left(4,2,3,+\frac{1}{2}\right):
  • Checar n: n=4 é válido → OK.
  • Checar l: l=2 e 0\le 2\le 3 → OK (ou seja, l=2 é permitido para n=4).
  • Checar m_l: com l=2 os valores possíveis são -2,-1,0,1,2. Aqui foi dado m_l=3.
    Observe que m_l=3 não pertence ao intervalo -2\le m_l\le 2. Portanto esta condição é violada.
  • Checar m_s: m_s=+\tfrac{1}{2} seria permitido, mas já temos falha em m_l.
    Conclusão: o conjunto \left(4,2,3,+\tfrac{1}{2}\right) não é permitido porque m_l excede o valor máximo +l.

Passo 6

Resumo final e dica rápida para a prova: para checar um conjunto qualquer \left(n,l,m_l,m_s\right) faça, em ordem, estas perguntas rápidas:
  1. n é inteiro e \ge 1?
  2. l é inteiro com 0\le l\le n-1?
  3. m_l é inteiro e -l\le m_l\le +l?
  4. m_s é +\tfrac{1}{2} ou -\tfrac{1}{2}?
    Se responder “não” a qualquer uma, o conjunto é proibido. Isso evita perder tempo na prova — é só verificar limites inteiros.

Resposta

\left(4,2,3,+\frac{1}{2}\right)

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