Listar todos os valores dos números quânticos l e m_{l} que são permitidos para \mathrm{n}=5, e os tipos de orbitais correspondentes.

Passo 1

O enunciado pede que eu liste todos os valores permitidos dos números quânticos l e m_{l} para o caso em que n=5, e que eu associe a cada l o tipo de orbital correspondente. Informação dada: n=5. Perguntas explícitas: quais são os valores possíveis de l e, para cada l, quais são os valores possíveis de m_{l}; e qual o nome (tipo) do orbital associado a cada l.

Passo 2

Antes de calcular, preciso explicar as regras que determinam esses valores (isso é importante para a prova):
  • O número quântico principal \,n, é um inteiro positivo: \,n=1,2,3,\dots. No nosso caso \,n=5.
  • O número quântico azimutal (ou orbital) \,l, é um inteiro com
0 \le l \le n-1.
Isto significa que para dado \,n existem \,n valores possíveis de \,l.
  • O número quântico magnético \,m_{l}, é um inteiro que satisfaz
m_{l} \in \{-l, -l+1, \dots, 0, \dots, l-1, l\}.
Ou seja, para cada l existem 2l+1 valores possíveis de m_{l}.
  • Os tipos (nomes) dos orbitais seguem a convenção:
l=0 \to \text{\(s\)},\quad l=1 \to \text{\(p\)},\quad l=2 \to \text{\(d\)},\quad l=3 \to \text{\(f\)},\quad l=4 \to \text{\(g\)}.
Dica prática: sempre que ver n fixe l de 0 até n-1 e para cada l liste os m_{l} inteiros de -l até +l.

Passo 3

Aplicando a regra para \,n=5: os valores permitidos de l são os inteiros
l=0,1,2,3,4.
Agora vou tratar cada um desses l separadamente, listando os m_{l} e o tipo de orbital.

Passo 4

Para l=0:
  • Os valores de m_{l} vão de -0 a +0, ou seja
m_{l}=0.
  • Tipo de orbital: l=0 corresponde ao orbital s. Assim temos o orbital 5s.
  • Número de orbitais neste subnível: 2l+1 = 1.

Passo 5

Para l=1:
  • Os valores de m_{l} são os inteiros de -1 até +1, ou seja
m_{l}=-1,\,0,\,1.
  • Tipo de orbital: l=1 corresponde ao orbital p. Assim temos os orbitais 5p.
  • Número de orbitais neste subnível: 2l+1 = 3.

Passo 6

Para l=2:
  • Os valores de m_{l} são os inteiros de -2 até +2, ou seja
m_{l}=-2,\,-1,\,0,\,1,\,2.
  • Tipo de orbital: l=2 corresponde ao orbital d. Assim temos os orbitais 5d.
  • Número de orbitais neste subnível: 2l+1 = 5.

Passo 7

Para l=3:
  • Os valores de m_{l} são os inteiros de -3 até +3, ou seja
m_{l}=-3,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,3.
  • Tipo de orbital: l=3 corresponde ao orbital f. Assim temos os orbitais 5f.
  • Número de orbitais neste subnível: 2l+1 = 7.

Passo 8

Para l=4:
  • Os valores de m_{l} são os inteiros de -4 até +4, ou seja
m_{l}=-4,\,-3,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,3,\,4.
  • Tipo de orbital: l=4 corresponde ao orbital g. Assim temos os orbitais 5g.
  • Número de orbitais neste subnível: 2l+1 = 9.

Passo 9

Pequena conclusão útil para a prova: o número total de orbitais para n=5 é a soma dos orbitais de cada subnível:
1+3+5+7+9 = 25.
Cada orbital comporta no máximo 2 elétrons (se considerar spin), então a capacidade eletrônica total da camada n=5 é 2\cdot 25 = 50 elétrons. (Só um bônus prático; não era pedido, mas ajuda a fixar.)

Resposta

l=0:\; m_{l}=0;\;\text{orbital }5s.
l=1:\; m_{l}=-1,\,0,\,1;\;\text{orbitais }5p.
l=2:\; m_{l}=-2,\,-1,\,0,\,1,\,2;\;\text{orbitais }5d.
l=3:\; m_{l}=-3,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,3;\;\text{orbitais }5f.
l=4:\; m_{l}=-4,\,-3,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,3,\,4;\;\text{orbitais }5g.

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