Determinar os conjuntos possíveis dos quatro números quânticos ( n, l, m_{l}, m_{s} ) para um elétron em um átomo, quando \mathrm{n}=2.

Passo 1

O enunciado pede: determinar todos os conjuntos possíveis dos quatro números quânticos (n, l, m_{l}, m_{s}) para um elétron quando \mathrm{n}=2.
Informações dadas:
\mathrm{n}=2.
O que precisa ser entregue: a lista completa (todos os conjuntos possíveis) de quadruplas (n,l,m_{l},m_{s}) compatíveis com \mathrm{n}=2.

Passo 2

Entendendo o que representa \;n\; e seu valor fixo: \;n\; é o primeiro (principal) número quântico e deve ser um inteiro positivo. Aqui já foi fixado \;n=2\;. Isso significa que estamos procurando estados com esse valor de \;n\; — todas as outras quantidades devem ser compatíveis com \;n=2\;.

Passo 3

Regra para o segundo número quântico \;l\;: \;l\; pode assumir qualquer inteiro de
0
até
n-1.
Explicando: \;l\; indica o “subnível” e seus valores possíveis dependem de \;n\;. Como aqui \;n=2\;, os valores permitidos são
l=0\quad\text{e}\quad l=1.
Anota mental: estes correspondem aos subníveis que, em linguagem comum, seriam chamados de “2s” ( l=0) e “2p” ( l=1), mas o que importa para a prova são os valores de l.

Passo 4

Regra para o terceiro número quântico \;m_{l}\;: para um dado \;l\;, o valor de \;m_{l}\; é um inteiro que vai de
-m_{l,\text{min}}=-l
até
m_{l,\text{max}}=+l,
incluindo todos os inteiros entre eles. Ou seja:
  • Se \;l=0\; então \;m_{l}=0.
  • Se \;l=1\; então \;m_{l}=-1,\,0,\,+1.
Explicação intuitiva: \;m_{l}\; indica a orientação espacial do orbital em relação a um eixo (e é discreta e limitada por l).

Passo 5

Regra para o quarto número quântico \;m_{s}\; (spin): o elétron tem spin com apenas dois valores possíveis,
m_{s}=+\tfrac{1}{2}\quad\text{ou}\quad m_{s}=-\tfrac{1}{2}.
Esses são os dois estados de spin “para cima” e “para baixo”. Para cada combinação de (n,l,m_{l}) temos exatamente duas possibilidades de m_{s}.

Passo 6

Agora vamos montar todas as quadruplas (n,l,m_{l},m_{s}) compatíveis com \;n=2\;, seguindo sistematicamente as regras acima.
Caso \;l=0\;:
  • \;m_{l}=0\;.
  • Para esse (n,l,m_{l})=(2,0,0) existem dois spins:
    • (2,0,0,+\tfrac{1}{2})
    • (2,0,0,-\tfrac{1}{2})
Caso \;l=1\;:
  • \;m_{l}=-1,\,0,\,+1\;.
  • Para cada um desses \;m_{l}\; há dois valores de m_{s}. Portanto obtemos as seis quadruplas:
    • (2,1,-1,+\tfrac{1}{2})
    • (2,1,-1,-\tfrac{1}{2})
    • (2,1,0,+\tfrac{1}{2})
    • (2,1,0,-\tfrac{1}{2})
    • (2,1,1,+\tfrac{1}{2})
    • (2,1,1,-\tfrac{1}{2})
Contagem e observação útil para prova: total de estados possíveis para \;n=2\; é 2 (do subnível l=0) + 6 (do subnível l=1) = 8 conjuntos de números quânticos. Em termos de elétrons, a camada n=2 comporta até 8 elétrons (2 no 2s e 6 no 2p) — útil para responder questões de capacidade de camada.

Resposta

(2,0,0,+\tfrac{1}{2})
(2,0,0,-\tfrac{1}{2})
(2,1,-1,+\tfrac{1}{2})
(2,1,-1,-\tfrac{1}{2})
(2,1,0,+\tfrac{1}{2})
(2,1,0,-\tfrac{1}{2})
(2,1,1,+\tfrac{1}{2})
(2,1,1,-\tfrac{1}{2})

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