Quais dos seguintes conjuntos são subespaços vetoriais?
O conjunto das funções
tais que
.
O conjunto das funções
Passo 1
O enunciado considera o espaço vetorial
de todas as funções duas vezes diferenciáveis em
e o subconjunto
Para mostrar que
é subespaço vetorial, precisamos verificar três propriedades: (i) o vetor zero pertence a
, (ii)
é fechado sob soma e (iii)
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificação do vetor zero: seja
para todo
. Então
logo
.
Passo 3
Fechamento sob soma: sejam
e
em
. Então
Somando as duas igualdades obtemos
logo
.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação por escalar: seja
e
. Então
logo
.
Resposta
O conjunto
é um subespaço vetorial de
.