Quais dos seguintes conjuntos são subespaços vetoriais?
O conjunto F \subset \mathcal{F}(\mathbb{R} ; \mathbb{R}) formado pelas funções f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} tais que f(x+1)=f(x) para todo x \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial \mathcal{F}(\mathbb{R};\mathbb{R}) de todas as funções f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} e o subconjunto
F = \{\,f\in \mathcal{F}(\mathbb{R};\mathbb{R}) \mid f(x+1)=f(x)\text{ para todo }x\in\mathbb{R}\}.
Queremos verificar se F é subespaço vetorial, ou seja, se contém o vetor zero, é fechado sob soma e fechado sob produto escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (a função nula) pertence a F. Seja 0 a função definida por 0(x)=0 para todo x. Então
0(x+1)=0=0(x),
logo 0\in F.

Passo 3

Verificamos a fechamento sob soma. Tomemos f,g\in F. Para todo x,
(f+g)(x+1)=f(x+1)+g(x+1)=f(x)+g(x)=(f+g)(x).
Isso mostra que f+g também satisfaz a condição de periodicidade, logo f+g\in F.

Passo 4

Verificamos o fechamento sob produto escalar. Sejam \lambda\in\mathbb{R} e f\in F. Então, para todo x,
(\lambda f)(x+1)=\lambda\,f(x+1)=\lambda\,f(x)=(\lambda f)(x).
Portanto \lambda f\in F.

Passo 5

Como F contém o vetor zero e é fechado tanto sob soma quanto sob produto escalar, concluímos que F é um subespaço vetorial de \mathcal{F}(\mathbb{R};\mathbb{R}).

Resposta

F é subespaço vetorial de \mathcal{F}(\mathbb{R};\mathbb{R}).

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