Quais dos seguintes conjuntos são subespaços vetoriais?
O conjunto
formado pelas funções
tais que
para todo
.
O conjunto
Passo 1
O enunciado nos dá o espaço vetorial
de todas as funções
e o subconjunto
Queremos verificar se
é subespaço vetorial, ou seja, se contém o vetor zero, é fechado sob soma e fechado sob produto escalar.
Passo 2
Verificamos se o vetor zero (a função nula) pertence a
. Seja
a função definida por
para todo
. Então
logo
.
Passo 3
Verificamos a fechamento sob soma. Tomemos
. Para todo
,
Isso mostra que
também satisfaz a condição de periodicidade, logo
.
Passo 4
Verificamos o fechamento sob produto escalar. Sejam
e
. Então, para todo
,
Portanto
.
Passo 5
Como
contém o vetor zero e é fechado tanto sob soma quanto sob produto escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.