Quais dos seguintes conjuntos são subespaços vetoriais?
O conjunto das funções f \in C^{2}(\mathbb{R}) tais que f^{\prime \prime}-2 f^{\prime}+f=0.

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial V = C^2(\mathbb{R}) de todas as funções duas vezes diferenciáveis em \mathbb{R} e o subconjunto
W = \bigl\{\,f\in C^2(\mathbb{R}) \mid f'' - 2f' + f = 0\bigr\}.
Para mostrar que W é subespaço vetorial, precisamos verificar três propriedades: (i) o vetor zero pertence a W, (ii) W é fechado sob soma e (iii) W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificação do vetor zero: seja f_0(x)=0 para todo x. Então
f_0''(x) - 2f_0'(x) + f_0(x) = 0 - 2\cdot 0 + 0 = 0,
logo f_0\in W.

Passo 3

Fechamento sob soma: sejam f e g em W. Então
f'' - 2f' + f = 0 \quad\text{e}\quad g'' - 2g' + g = 0.
Somando as duas igualdades obtemos
(f+g)'' - 2(f+g)' + (f+g) = (f''-2f'+f) + (g''-2g'+g) = 0 + 0 = 0,
logo f+g\in W.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação por escalar: seja \alpha\in\mathbb{R} e f\in W. Então
(\alpha f)'' - 2(\alpha f)' + (\alpha f) = \alpha\bigl(f'' - 2f' + f\bigr) = \alpha\cdot 0 = 0,
logo \alpha f\in W.

Resposta

O conjunto \{f\in C^2(\mathbb{R})\mid f''-2f'+f=0\} é um subespaço vetorial de C^2(\mathbb{R}).

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