Quais dos seguintes conjuntos de vetores são ortogonais em relação ao produto interno usual em V ?
\mathrm{V}=\mathrm{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R}) ;\left\{\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 1 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0 & 0 \\\\ 1 & -1\end{array}\right)\right\}

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial \mathrm{V} = M_{2\times2}(\mathbb{R})
com o produto interno usual (Frobenius) e o conjunto de quatro matrizes
A_1 = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},\quad A_2 = \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},\quad A_3 = \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix},\quad A_4 = \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}.
Pergunta-se quais desses vetores formam um conjunto ortogonal, ou seja, em que toda combinação de dois distintos tem produto interno zero.]

Passo 2

Lembrando que o produto interno usual em M_{2\times2}(\mathbb{R}) é
\langle A,B\rangle = \mathrm{tr}(A^T B)
que coincide com a soma dos produtos dos entr​adas correspondentes. Assim, dois vetores A_i e A_j são ortogonais se e somente se
\langle A_i,A_j\rangle = 0.

Passo 3

Vamos calcular \langle A_i,A_j\rangle para todo par i<j, lembrando que é só multiplicar entrada a entrada e somar: \langle A_1,A_2\rangle = 1\cdot0 + 0\cdot1 + 0\cdot0 + 0\cdot0 = 0. \langle A_1,A_3\rangle = 1\cdot0 + 0\cdot0 + 0\cdot1 + 0\cdot1 = 0. \langle A_1,A_4\rangle = 1\cdot0 + 0\cdot0 + 0\cdot1 + 0\cdot(-1) = 0. \langle A_2,A_3\rangle = 0\cdot0 + 1\cdot0 + 0\cdot1 + 0\cdot1 = 0. \langle A_2,A_4\rangle = 0\cdot0 + 1\cdot0 + 0\cdot1 + 0\cdot(-1) = 0. \langle A_3,A_4\rangle = 0\cdot0 + 0\cdot0 + 1\cdot1 + 1\cdot(-1) = 1 - 1 = 0.

Passo 4

Como todos os produtos internos \langle A_i,A_j\rangle com i\neq j são zero, concluímos que qualquer par distinto de vetores no conjunto é ortogonal.

Resposta

O conjunto \{A_1, A_2, A_3, A_4\} é um conjunto ortogonal em M_{2\times2}(\mathbb{R}).

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