Quais dos seguintes conjuntos de vetores são ortogonais em relação ao produto interno usual em V ?
V=\mathbb{R}^{2} ;\{(0,1),(0,0)\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de vetores
\{(0,1),\,(0,0)\}
em V=\mathbb{R}^2 é ortogonal em relação ao produto interno usual em \mathbb{R}^2.

Passo 2

Lembramos que o produto interno usual em \mathbb{R}^2 de dois vetores (x_1,x_2) e (y_1,y_2) é dado por
\langle(x_1,x_2),(y_1,y_2)\rangle = x_1y_1 + x_2y_2.
Um conjunto de vetores é ortogonal se, para todo par distinto de vetores do conjunto, o produto interno for zero.

Passo 3

No nosso caso há apenas um par de vetores distintos: (0,1) e (0,0). Calculamos
\langle(0,1),(0,0)\rangle = 0\cdot 0 + 1\cdot 0 = 0.
Como o produto interno é zero, esse par é ortogonal. Note que o vetor nulo (0,0) é ortogonal a qualquer outro vetor.

Resposta

O conjunto \{(0,1),(0,0)\} é ortogonal em relação ao produto interno usual em \mathbb{R}^2.

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