Quais dos seguintes conjuntos
abaixo são subespaço de
? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
A pergunta é: esse conjunto
é subespaço de
? Deve-se justificar a resposta.
Informações relevantes fornecidas:
- Um vetor genérico de
tem a forma com a restrição . - Não há outras restrições sobre
; pode ser qualquer número real. - Precisa-se verificar se
satisfaz as propriedades necessárias para ser subespaço.
Passo 2
Lembrete (definição usada): para que um subconjunto
de
seja subespaço linear, é necessário e suficiente que:
-
contenha o vetor nulo . -
seja fechado sob soma: se e , então . -
seja fechado sob multiplicação por escalar: se e , então .
Vou checar essas propriedades uma a uma. (Explicando as variáveis: em
,
é a primeira coordenada,
a segunda e
a terceira; a condição que define
é uma relação entre a primeira e a terceira coordenada.)
Passo 3
Verificar se o vetor nulo está em
.
O vetor nulo é
. A condição é
. Para o vetor nulo temos
e
, então
Isso é verdadeiro, portanto
. A propriedade 1 está satisfeita.
Passo 4
Verificar fechamento por multiplicação escalar (essa é geralmente a propriedade que falha quando aparece
).
Se
, então por definição
. Tome um escalar arbitrário
. O produto escalar é
Para que
pertença a
deve valer a condição de definição com as novas coordenadas: a nova primeira coordenada deve ser igual ao quadrado da nova terceira coordenada, isto é,
Como
, substituindo obtém-se
Reorganizando:
Essa igualdade é verdadeira para todo
apenas em casos especiais: por exemplo se
ou se
ou
. Mas a condição deve valer para todo
e todo vetor
. Logo, em geral não vale: para alguns
e alguns
a condição falha. Vou mostrar um contraexemplo explícito, mais fácil de ver na hora da prova.
Passo 5
Contraexemplo para fechamento por escalar (fá-cil e direto):
Escolha
. Verifico que
porque
e
e
.
Escolha o escalar
. Então
Para que
seria preciso
, isto é
, o que é falso. Portanto
.
Logo
não é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 6
Verificar fechamento por soma (opcional, pois já basta uma propriedade falhar para concluir; mostro também que a soma pode falhar).
Considere
pois em ambos
e
e
.
A soma é
Para pertencer a
seria necessário
, o que é falso. Assim
. Portanto
também não é fechado sob soma.
Passo 7
Conclusão: embora
contenha o vetor nulo, falha a propriedade de fechamento por multiplicação por escalar (e também por soma). Logo
não é subespaço linear de
.
Motivação intuitiva curta (para lembrar na hora da prova): a condição
é uma condição quadrática (não linear) entre coordenadas; subespaços são definidos por condições lineares (como
) ou descritos por combinação linear de vetores. Portanto conjuntos definidos por relações quadráticas geralmente não formam subespaços.