Quais dos seguintes conjuntos W abaixo são subespaço de \mathbb{R}^{3} ? Justifique.
W=\left\{(x, y, z) \mid x=z^{2}\right\}

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x=z^{2}\}.
A pergunta é: esse conjunto W é subespaço de \mathbb{R}^{3}? Deve-se justificar a resposta.
Informações relevantes fornecidas:
  • Um vetor genérico de W tem a forma (x,y,z) com a restrição x=z^{2}.
  • Não há outras restrições sobre y; y pode ser qualquer número real.
  • Precisa-se verificar se W satisfaz as propriedades necessárias para ser subespaço.

Passo 2

Lembrete (definição usada): para que um subconjunto W de \mathbb{R}^{3} seja subespaço linear, é necessário e suficiente que:
  1. W contenha o vetor nulo 0=(0,0,0).
  2. W seja fechado sob soma: se u\in W e v\in W, então u+v\in W.
  3. W seja fechado sob multiplicação por escalar: se u\in W e c\in\mathbb{R}, então c\,u\in W.
Vou checar essas propriedades uma a uma. (Explicando as variáveis: em (x,y,z), x é a primeira coordenada, y a segunda e z a terceira; a condição que define W é uma relação entre a primeira e a terceira coordenada.)

Passo 3

Verificar se o vetor nulo está em W.
O vetor nulo é (0,0,0). A condição é x=z^{2}. Para o vetor nulo temos x=0 e z=0, então
0 = 0^{2}.
Isso é verdadeiro, portanto (0,0,0)\in W. A propriedade 1 está satisfeita.

Passo 4

Verificar fechamento por multiplicação escalar (essa é geralmente a propriedade que falha quando aparece z^{2}).
Se u=(x,y,z)\in W, então por definição x=z^{2}. Tome um escalar arbitrário c\in\mathbb{R}. O produto escalar é
c\,u = (c x,\, c y,\, c z).
Para que c\,u pertença a W deve valer a condição de definição com as novas coordenadas: a nova primeira coordenada deve ser igual ao quadrado da nova terceira coordenada, isto é,
c x = (c z)^{2}.
Como x=z^{2}, substituindo obtém-se
c z^{2} = c^{2} z^{2}.
Reorganizando:
(c - c^{2}) z^{2} = 0.
Essa igualdade é verdadeira para todo z apenas em casos especiais: por exemplo se z=0 ou se c=0 ou c=1. Mas a condição deve valer para todo c\in\mathbb{R} e todo vetor u\in W. Logo, em geral não vale: para alguns u\in W e alguns c\in\mathbb{R} a condição falha. Vou mostrar um contraexemplo explícito, mais fácil de ver na hora da prova.

Passo 5

Contraexemplo para fechamento por escalar (fá-cil e direto):
Escolha u=(1,0,1). Verifico que u\in W porque x=1 e z=1 e 1 = 1^{2}.
Escolha o escalar c=2. Então
2u = (2,0,2).
Para que 2u\in W seria preciso 2 = 2^{2}, isto é 2 = 4, o que é falso. Portanto 2u\notin W.
Logo W não é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 6

Verificar fechamento por soma (opcional, pois já basta uma propriedade falhar para concluir; mostro também que a soma pode falhar).
Considere
u=(1,0,1)\in W \quad\text{e}\quad v=(1,0,-1)\in W,
pois em ambos x=1 e z=\pm1 e 1 = (\pm1)^{2}.
A soma é
u+v=(2,0,0).
Para pertencer a W seria necessário 2 = 0^{2}=0, o que é falso. Assim u+v\notin W. Portanto W também não é fechado sob soma.

Passo 7

Conclusão: embora W contenha o vetor nulo, falha a propriedade de fechamento por multiplicação por escalar (e também por soma). Logo W não é subespaço linear de \mathbb{R}^{3}.
Motivação intuitiva curta (para lembrar na hora da prova): a condição x=z^{2} é uma condição quadrática (não linear) entre coordenadas; subespaços são definidos por condições lineares (como ax+by+cz=0) ou descritos por combinação linear de vetores. Portanto conjuntos definidos por relações quadráticas geralmente não formam subespaços.

Resposta

W não é subespaço de \mathbb{R}^{3}.

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