Quais dos seguintes conjuntos
abaixo são subespaço de
? Justifique.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um subespaço de
.
Informações dadas:
Informações dadas:
-
contém todos os vetores do plano cuja primeira coordenada é maior ou igual a . - Não há outras restrições sobre
.
Passo 2
Lembrete importante (o que é preciso checar para ser subespaço): um subconjunto
é subespaço vetorial se e somente se cumprir três propriedades:
- Contém o vetor zero
. - É fechado sob soma: se
e então . - É fechado sob multiplicação por escalar: se
e então .
Estas três condições são equivalentes a pedir que
seja um espaço vetorial com as operações herdadas de
. Na prova, costuma-se checar explicitamente (1) e depois (2) e (3), ou procurar contraexemplos que derrubem alguma das condições.
Passo 3
Verificar a presença do vetor zero:
O vetor zero é . Como a primeira coordenada é
e
, conclui-se que
. Portanto a condição (1) está satisfeita.
O vetor zero é
Passo 4
Verificar fechamento por soma:
Sejam e
. Então
e
. A soma é
Sejam
Como
(soma de números não-negativos é não-negativa), segue que
. Logo
é fechado sob soma.
Passo 5
Verificar fechamento por multiplicação por escalar (a parte que normalmente falha para metades do plano):
Para ser subespaço é necessário que, para todo e todo
, tenha
. Basta um contraexemplo para mostrar que essa propriedade falha.
Para ser subespaço é necessário que, para todo
Escolha
. Observa-se que
porque sua primeira coordenada é
. Tome o escalar
. Então
A primeira coordenada de
é
, e
, portanto
. Assim
não é fechado sob multiplicação por escalar (falha para escalares negativos).
Passo 6
Conclusão final da verificação: como
falha na propriedade de fechamento por multiplicação por escalar,
não é um subespaço de
. (Bastou um único contraexemplo.)
Resposta
Não,
não é subespaço de
.