Quais dos seguintes conjuntos W abaixo são subespaço de \mathbb{R}^{2} ? Justifique.
W=\{(x, y) \mid x \geq 0\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto W=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\geq 0\} é um subespaço de \mathbb{R}^2.
Informações dadas:
  • W contém todos os vetores do plano cuja primeira coordenada x é maior ou igual a 0.
  • Não há outras restrições sobre y.

Passo 2

Lembrete importante (o que é preciso checar para ser subespaço): um subconjunto S\subseteq\mathbb{R}^2 é subespaço vetorial se e somente se cumprir três propriedades:
  1. Contém o vetor zero (0,0).
  2. É fechado sob soma: se u\in S e v\in S então u+v\in S.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar: se u\in S e c\in\mathbb{R} então c\,u\in S.
Estas três condições são equivalentes a pedir que S seja um espaço vetorial com as operações herdadas de \mathbb{R}^2. Na prova, costuma-se checar explicitamente (1) e depois (2) e (3), ou procurar contraexemplos que derrubem alguma das condições.

Passo 3

Verificar a presença do vetor zero:
O vetor zero é (0,0). Como a primeira coordenada é 0 e 0\geq 0, conclui-se que (0,0)\in W. Portanto a condição (1) está satisfeita.

Passo 4

Verificar fechamento por soma:
Sejam u=(x_1,y_1)\in W e v=(x_2,y_2)\in W. Então x_1\geq 0 e x_2\geq 0. A soma é
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2).
Como x_1+x_2\geq 0 (soma de números não-negativos é não-negativa), segue que u+v\in W. Logo W é fechado sob soma.

Passo 5

Verificar fechamento por multiplicação por escalar (a parte que normalmente falha para metades do plano):
Para ser subespaço é necessário que, para todo c\in\mathbb{R} e todo u\in W, tenha c\,u\in W. Basta um contraexemplo para mostrar que essa propriedade falha.
Escolha u=(1,0). Observa-se que u\in W porque sua primeira coordenada é 1\geq 0. Tome o escalar c=-1. Então
c\,u = -1\cdot(1,0)=(-1,0).
A primeira coordenada de c\,u é -1, e -1<0, portanto c\,u\notin W. Assim W não é fechado sob multiplicação por escalar (falha para escalares negativos).

Passo 6

Conclusão final da verificação: como W falha na propriedade de fechamento por multiplicação por escalar, W não é um subespaço de \mathbb{R}^2. (Bastou um único contraexemplo.)

Resposta

Não, W não é subespaço de \mathbb{R}^{2}.

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