2) T: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, T(X)=\left(X, X^{2}\right) é uma T.L. ?

Passo 1

O enunciado dá a aplicação T:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^{2} definida por
T(X) = \bigl(X,\;X^{2}\bigr).
A pergunta é clara: T é uma transformação linear (T.L.)?
Informações relevantes que temos:
  • Domínio: \mathbb{R} (espaço vetorial sobre \mathbb{R}).
  • Contradomínio: \mathbb{R}^{2} (espaço vetorial sobre \mathbb{R}).
  • Regra explícita: para cada X\in\mathbb{R}, T(X)=(X,X^{2}).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar exatamente o que significa “transformação linear” de forma bem direta e útil para a prova.
Definição: uma aplicação T entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores u,v do domínio e qualquer escalar c\in\mathbb{R}, valem simultaneamente as duas propriedades:
T(u+v)=T(u)+T(v)
e
T(cu)=c\,T(u).
Explicando as letras: u e v são elementos do espaço de entrada ( \mathbb{R} aqui), c é um número real, e a igualdade entre vetores em \mathbb{R}^{2} significa igualdade componente a componente.
Outra propriedade equivalente (muito prática para domínio \mathbb{R}): se T é linear então, para todo x\in\mathbb{R},
T(x)=x\,T(1).
Isto decorre de x=T(x\cdot 1)=x\,T(1) pela propriedade de homogeneidade. Vamos usar essa pista também — é rápida em provas.

Passo 3

Vou testar linearidade de duas maneiras complementares: (A) uma verificação algébrica geral da aditividade, e (B) um contraexemplo numérico simples (mais direto para a prova). Se qualquer uma falhar, já podemos concluir que T não é linear.

Passo 4

Calculemos T(x+y) e comparemos com T(x)+T(y) para x,y\in\mathbb{R}.
Primeiro,
T(x+y)=\bigl(x+y,\;(x+y)^{2}\bigr).
Desenvolvendo o quadrado:
(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2},
logo
T(x+y)=\bigl(x+y,\;x^{2}+2xy+y^{2}\bigr).
Agora
T(x)+T(y)=\bigl(x,x^{2}\bigr)+\bigl(y,y^{2}\bigr)=\bigl(x+y,\;x^{2}+y^{2}\bigr).
Comparando componente a componente, as primeiras componentes coincidem ( x+y), mas as segundas componentes só coincidem se
x^{2}+2xy+y^{2}=x^{2}+y^{2}\quad\Longleftrightarrow\quad 2xy=0.
Essa igualdade 2xy=0 teria de valer para todos x,y\in\mathbb{R}, o que é impossível (por exemplo, para x=y=1 2\neq0). Portanto a aditividade falha em geral, e isso já basta para concluir que T não é linear.

Passo 5

Para tornar a falha bem óbvia na hora da prova, escolha x=1 e y=1:
T(1+1)=T(2)=\bigl(2,4\bigr),
enquanto
T(1)+T(1)=\bigl(1,1\bigr)+\bigl(1,1\bigr)=\bigl(2,2\bigr).
Como \bigl(2,4\bigr)\neq\bigl(2,2\bigr), a propriedade T(1+1)=T(1)+T(1) é violada. Contraexemplo pronto: T não é linear.

Passo 6

Usando a observação do Passo 2: se T fosse linear, então para todo x teríamos
T(x)=x\,T(1).
Calcule T(1)=\bigl(1,1\bigr). Então a consequência seria T(x)=x\bigl(1,1\bigr)=\bigl(x,x\bigr) para todo x. Mas a definição do problema dá T(x)=\bigl(x,x^{2}\bigr). Igualando as formas obtém-se x^{2}=x para todo x, o que é falso. Portanto, outra contradição que também prova que T não é linear.

Passo 7

Intuitivamente, o problema é o termo X^{2}: a presença de um quadrado faz a segunda componente depender de forma não linear de X. Exemplos de transformações lineares \mathbb{R}\to\mathbb{R}^{2} seriam coisas do tipo
S(X)=\bigl(aX,\;bX\bigr)
para constantes a,b\in\mathbb{R} (essas são exatamente as que podem ser representadas por uma matriz 2\times1). O mapa dado tem segunda componente X^{2}, que não é da forma bX, por isso não entra nessa família.

Passo 8

Conclusão direta: T não é transformação linear. Isso é algo bem comum em provas — sempre que aparecer algum polinômio de grau maior que 1 em componentes, desconfie: falha linearidade. Você fez bem em pedir passo a passo; na prova, um contraexemplo rápido (como o do Passo 5) resolve a questão em segundos.

Resposta

Não, T não é uma transformação linear.

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