2) T: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, T(X)=\left(X, X^{2}\right) é uma T.L. ?
Passo 1
O enunciado dá a aplicação
definida por
A pergunta é clara:
é uma transformação linear (T.L.)?
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- Domínio:
(espaço vetorial sobre ). - Contradomínio:
(espaço vetorial sobre ). - Regra explícita: para cada
, .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar exatamente o que significa “transformação linear” de forma bem direta e útil para a prova.
Definição: uma aplicação
entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores
do domínio e qualquer escalar
, valem simultaneamente as duas propriedades:
e
Explicando as letras:
e
são elementos do espaço de entrada (
aqui),
é um número real, e a igualdade entre vetores em
significa igualdade componente a componente.
Outra propriedade equivalente (muito prática para domínio
): se
é linear então, para todo
,
Isto decorre de
pela propriedade de homogeneidade. Vamos usar essa pista também — é rápida em provas.
Passo 3
Vou testar linearidade de duas maneiras complementares: (A) uma verificação algébrica geral da aditividade, e (B) um contraexemplo numérico simples (mais direto para a prova). Se qualquer uma falhar, já podemos concluir que
não é linear.
Passo 4
Calculemos
e comparemos com
para
.
Primeiro,
Desenvolvendo o quadrado:
logo
Agora
Comparando componente a componente, as primeiras componentes coincidem (
), mas as segundas componentes só coincidem se
Essa igualdade
teria de valer para todos
, o que é impossível (por exemplo, para
dá
). Portanto a aditividade falha em geral, e isso já basta para concluir que
não é linear.
Passo 5
Para tornar a falha bem óbvia na hora da prova, escolha
e
:
enquanto
Como
, a propriedade
é violada. Contraexemplo pronto:
não é linear.
Passo 6
Usando a observação do Passo 2: se
fosse linear, então para todo
teríamos
Calcule
. Então a consequência seria
para todo
. Mas a definição do problema dá
. Igualando as formas obtém-se
para todo
, o que é falso. Portanto, outra contradição que também prova que
não é linear.
Passo 7
Intuitivamente, o problema é o termo
: a presença de um quadrado faz a segunda componente depender de forma não linear de
. Exemplos de transformações lineares
seriam coisas do tipo
para constantes
(essas são exatamente as que podem ser representadas por uma matriz
). O mapa dado tem segunda componente
, que não é da forma
, por isso não entra nessa família.
Passo 8
Conclusão direta:
não é transformação linear. Isso é algo bem comum em provas — sempre que aparecer algum polinômio de grau maior que
em componentes, desconfie: falha linearidade. Você fez bem em pedir passo a passo; na prova, um contraexemplo rápido (como o do Passo 5) resolve a questão em segundos.
Resposta
Não,
não é uma transformação linear.