Nos seguintes exercícios, (i) encontre o domínio, (ii) encontre a imagem, e (iii) descreva as curvas de nível da função:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Passo 1
Temos seis funções
. Para cada uma precisamos:
- Encontrar o domínio
, ou seja, os pontos em que a expressão faz sentido. - Determinar a imagem, isto é, o conjunto dos valores reais que
assume. - Descrever as curvas de nível
, identificando sua forma geométrica.
Passo 2
Para
:
- Domínio: não há restrição, logo
. - Imagem: como
e são independentes, atinge todo . - Curvas de nível
: - Para
: retas . - Para
: hipérboles de equação , com eixos nos eixos coordenados e assíntotas .
- Para
Passo 3
Para
:
- Domínio:
, isto é, . - Imagem: dado qualquer
, escolhe-se , então a imagem é . - Curvas de nível
são parábolas , voltadas para cima se , para baixo se , degenerando em para .
Passo 4
Para
:
- Domínio:
, ou seja, interior do círculo de raio 4: . - Imagem: em
tem e, ao aproximar de , vai a . Logo . - Curvas de nível
dão
círculos centrados na origem de raio
, válidos para
.
Passo 5
Para
:
- Domínio:
, o disco fechado de raio 3: . - Imagem: varia de
(na fronteira) até (no centro), ou seja, . - Curvas de nível
levam a
círculos de raio
, para
.
Passo 6
Para
:
- Domínio:
, isto é, . - Imagem: como
, varia em . - Curvas de nível
implicam
círculos de raio
, para todo
.
Passo 7
Para
:
- Domínio: não há restrição,
. - Imagem: em
vale e decai para quando , sem atingi-lo. Logo . - Curvas de nível
dão
círculos de raio
, definidos para
.
Resposta
(a) Domínio
; Imagem
; curvas de nível
(hipérboles,
retas).
(b) Domínio ; Imagem
; curvas de nível
(parábolas).
(c) Domínio ; Imagem
; curvas de nível círculos
.
(d) Domínio ; Imagem
; curvas de nível círculos
.
(e) Domínio ; Imagem
; curvas de nível círculos
.
(f) Domínio ; Imagem
; curvas de nível círculos
.
(b) Domínio
(c) Domínio
(d) Domínio
(e) Domínio
(f) Domínio