Nos seguintes exercícios, (i) encontre o domínio, (ii) encontre a imagem, e (iii) descreva as curvas de nível da função:
a) f(x, y)=x^{2}-y^{2}
b) f(x, y)=\frac{y}{x^{2}}
c) f(x, y)=\frac{1}{\sqrt{16-x^{2}-y^{2}}}
d) f(x, y)=\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}
e) f(x, y)=\ln \left(x^{2}+y^{2}\right)
f) f(x, y)=e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}

Passo 1

Temos seis funções f:\Omega\subseteq\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}. Para cada uma precisamos:
  1. Encontrar o domínio \Omega, ou seja, os pontos (x,y) em que a expressão faz sentido.
  2. Determinar a imagem, isto é, o conjunto dos valores reais que f assume.
  3. Descrever as curvas de nível f(x,y)=c, identificando sua forma geométrica.

Passo 2

Para f(x,y)=x^2 - y^2:
  1. Domínio: não há restrição, logo \Omega=\mathbb{R}^2.
  2. Imagem: como x^2 e y^2 são independentes, x^2-y^2 atinge todo \mathbb{R}.
  3. Curvas de nível x^2-y^2=c:
    • Para c=0: retas y=\pm x.
    • Para c\neq0: hipérboles de equação x^2-y^2=c, com eixos nos eixos coordenados e assíntotas y=\pm x.

Passo 3

Para f(x,y)=\frac{y}{x^2}:
  1. Domínio: x\neq0, isto é, \Omega=\{(x,y)\mid x\in\mathbb{R}\setminus\{0\},\,y\in\mathbb{R}\}.
  2. Imagem: dado qualquer k\in\mathbb{R}, escolhe-se y=kx^2, então a imagem é \mathbb{R}.
  3. Curvas de nível \frac{y}{x^2}=c são parábolas y=c\,x^2, voltadas para cima se c>0, para baixo se c<0, degenerando em y=0 para c=0.

Passo 4

Para f(x,y)=\frac{1}{\sqrt{16 - x^2 - y^2}}:
  1. Domínio: 16-x^2-y^2>0, ou seja, interior do círculo de raio 4: \{(x,y)\mid x^2+y^2<16\}.
  2. Imagem: em r=0 tem f=1/4 e, ao aproximar de r=4, vai a +\infty. Logo \bigl[1/4,\infty\bigr).
  3. Curvas de nível \frac{1}{\sqrt{16-r^2}}=c dão
16 - r^2 = \frac1{c^2} \quad\Longrightarrow\quad r^2 = 16 - \frac1{c^2},
círculos centrados na origem de raio \sqrt{16 - c^{-2}}, válidos para c\ge1/4.

Passo 5

Para f(x,y)=\sqrt{9 - x^2 - y^2}:
  1. Domínio: 9 - x^2 - y^2 \ge 0, o disco fechado de raio 3: \{(x,y)\mid x^2+y^2\le9\}.
  2. Imagem: varia de 0 (na fronteira) até 3 (no centro), ou seja, [0,3].
  3. Curvas de nível \sqrt{9 - r^2}=c levam a
9 - r^2 = c^2 \quad\Longrightarrow\quad r^2 = 9 - c^2,
círculos de raio \sqrt{9 - c^2}, para 0\le c\le3.

Passo 6

Para f(x,y)=\ln\bigl(x^2+y^2\bigr):
  1. Domínio: x^2+y^2>0, isto é, \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}.
  2. Imagem: como x^2+y^2\in(0,\infty), \ln varia em \mathbb{R}.
  3. Curvas de nível \ln(r^2)=c implicam
r^2 = e^c,
círculos de raio e^{c/2}, para todo c\in\mathbb{R}.

Passo 7

Para f(x,y)=e^{-\bigl(x^2+y^2\bigr)}:
  1. Domínio: não há restrição, \Omega=\mathbb{R}^2.
  2. Imagem: em r=0 vale 1 e decai para 0 quando r\to\infty, sem atingi-lo. Logo (0,1].
  3. Curvas de nível e^{-r^2}=c dão
-r^2 = \ln c \quad\Longrightarrow\quad r^2 = -\ln c,
círculos de raio \sqrt{-\ln c}, definidos para 0<c\le1.

Resposta

(a) Domínio \mathbb{R}^2; Imagem \mathbb{R}; curvas de nível x^2-y^2=c (hipérboles, c=0 retas).
(b) Domínio \{x\neq0\}; Imagem \mathbb{R}; curvas de nível y=cx^2 (parábolas).
(c) Domínio x^2+y^2<16; Imagem \bigl[1/4,\infty\bigr); curvas de nível círculos r=\sqrt{16-1/c^2}.
(d) Domínio x^2+y^2\le9; Imagem [0,3]; curvas de nível círculos r=\sqrt{9-c^2}.
(e) Domínio \mathbb{R}^2\setminus\{0\}; Imagem \mathbb{R}; curvas de nível círculos r=e^{c/2}.
(f) Domínio \mathbb{R}^2; Imagem (0,1]; curvas de nível círculos r=\sqrt{-\ln c}.

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