Uma amostra de 2,00 moles de gás hélio inicialmente a 300 K e 0,400 atm é comprimida isotermicamente para 1,20 \mathrm{~atm}. Considerando que o hélio se comporta como um gás ideal, encontre
o trabalho realizado sobre o gás

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra de n=2{,}00 mol de gás hélio, comportamento de gás ideal, comprimida isotermicamente a T=300\\ \mathrm{K} de uma pressão inicial P_1=0{,}400\\ \mathrm{atm} até P_2=1{,}20\\ \mathrm{atm}. O que queremos é o trabalho realizado sobre o gás. Para isso, vamos usar a termodinâmica de processos isotérmicos de gás ideal.

Passo 2

Em um processo isotérmico de gás ideal, o trabalho realizado pelo gás ao se expandir de volume V_1 para V_2 é
W_{\text{pelo}} = n R T \ln\!\bigl(\tfrac{V_2}{V_1}\bigr).
Porém, como aqui temos compressão, e queremos o trabalho sobre o gás, vale
W_{\text{sobre}} = -W_{\text{pelo}}.

Passo 3

Usamos a relação P_1V_1=P_2V_2 (mesma T e mesmo n), de modo que
\frac{V_2}{V_1} = \frac{P_1}{P_2}.
Logo,
W_{\text{sobre}} = -n R T \ln\!\bigl(\tfrac{V_2}{V_1}\bigr) = -n R T \ln\!\bigl(\tfrac{P_1}{P_2}\bigr) = n R T \ln\!\bigl(\tfrac{P_2}{P_1}\bigr).

Passo 4

Substituindo n=2{,}00 mol, R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}, T=300\\ \mathrm{K} e \tfrac{P_2}{P_1}=\tfrac{1{,}20}{0{,}400}=3{,}0, temos
W_{\text{sobre}} =2{,}00\times8{,}314\times300\times\ln(3{,}0).
Calculando passo a passo:
8{,}314\times300 = 2494{,}2,
2{,}00\times2494{,}2 = 4988{,}4,
\ln(3{,}0)\approx1{,}0986,
W_{\text{sobre}}\approx4988{,}4\times1{,}0986\approx5481\\ \mathrm{J}.

Resposta

O trabalho realizado sobre o gás é aproximadamente 5{,}48\times10^3\\ \mathrm{J}.

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