Quais das seguintes expressões vetoriais são corretas (significativas)? O que há de errado com qualquer expressão incorreta?
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a expressão abaixo é correta (significativa) e, se não for, dizer o que há de errado:
.
Informações que temos do enunciado:
- Existem três vetores
, e . - A expressão apresentada envolve produto escalar (o símbolo
) e parênteses indicando que primeiro se calcularia .
Passo 2
Vamos lembrar com calma o que é o produto escalar e o que é multiplicação por escalar — isso é fundamental para decidir se a expressão faz sentido.
- Definição do produto escalar: para dois vetores
e em ,
ou geometricamente
, onde
é o ângulo entre os vetores. Observação importante: o resultado de um produto escalar é sempre um escalar (um número), não um vetor.
-
Multiplicação de vetor por escalar: se
é um escalar e é vetor, então é um vetor definido componente a componente por multiplicar cada componente de por . Isso é permitido e o resultado é um vetor. -
Regras de “tipos”: o operador
(produto escalar) exige dois vetores como operandos. Não se pode aplicar “ ” entre um vetor e um escalar.
Passo 3
Agora aplicamos isso à expressão dada.
- Primeiro calculemos o que está entre parênteses:
. Conforme vimos, isso é um escalar; chame esse escalar de :
-
A expressão escrita é
, ou seja, . Mas o operador requer dois vetores. Escrever tenta aplicar o produto escalar entre um vetor e um escalar , e isso não está definido. Portanto, tal expressão é inválida/sem sentido na álgebra vetorial padrão. -
Nota: o que é válido é multiplicar o vetor por um escalar, escrevendo
(ou quando o contexto permite), sem usar um ponto. Ou seja, a expressão bem-formada seria
que é um vetor (resultado de escalar
multiplicando o vetor
). Mas isso NÃO é escrito com um ponto entre
e
.
Passo 4
Para consolidar a intuição, exemplos e formas corretas/incorrectas:
-
Exemplo numérico rápido: tome
, , . Então (escalar). A expressão seria , que não é uma operação definida; o que se faz corretamente é (o vetor nulo), sem usar o ponto. -
Formas corretas semelhantes:
-
é correto (produto escalar dá escalar que multiplica o vetor ). -
é correto (é o produto misto, um escalar). -
também é correto (mesma coisa, associatividade cíclica do produto misto). - Já
é incorreto pelo mesmo motivo da expressão original: tenta aplicar entre um escalar e um vetor.
-
Passo 5
Resumo didático curtinho: o problema da expressão
é confundir a operação produto escalar (que precisa de dois vetores e produz um escalar) com multiplicação escalar-por-vetor. Deve-se escrever, se essa era a intenção,
(sem ponto), que é uma multiplicação escalar válida.
Resposta
A expressão
não é significativa:
é um escalar, e o produto escalar exige dois vetores; a forma correta (se a intenção for multiplicar o vetor
pelo escalar
) é
.