Quais das seguintes expressões vetoriais são corretas (significativas)? O que há de errado com qualquer expressão incorreta?
\vec{A} \cdot(\vec{B} \cdot \vec{C})

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a expressão abaixo é correta (significativa) e, se não for, dizer o que há de errado:
\vec{A}\cdot(\vec{B}\cdot\vec{C}).
Informações que temos do enunciado:
  • Existem três vetores \vec{A}, \vec{B} e \vec{C}.
  • A expressão apresentada envolve produto escalar (o símbolo \cdot) e parênteses indicando que primeiro se calcularia \vec{B}\cdot\vec{C}.

Passo 2

Vamos lembrar com calma o que é o produto escalar e o que é multiplicação por escalar — isso é fundamental para decidir se a expressão faz sentido.
  • Definição do produto escalar: para dois vetores \vec{u} e \vec{v} em \mathbb{R}^3,
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z,
ou geometricamente \vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre os vetores. Observação importante: o resultado de um produto escalar é sempre um escalar (um número), não um vetor.
  • Multiplicação de vetor por escalar: se \alpha é um escalar e \vec{v} é vetor, então \alpha\vec{v} é um vetor definido componente a componente por multiplicar cada componente de \vec{v} por \alpha. Isso é permitido e o resultado é um vetor.
  • Regras de “tipos”: o operador \cdot (produto escalar) exige dois vetores como operandos. Não se pode aplicar “ \cdot” entre um vetor e um escalar.

Passo 3

Agora aplicamos isso à expressão dada.
  • Primeiro calculemos o que está entre parênteses: \vec{B}\cdot\vec{C}. Conforme vimos, isso é um escalar; chame esse escalar de s:
s=\vec{B}\cdot\vec{C}\in\mathbb{R}.
  • A expressão escrita é \vec{A}\cdot(\vec{B}\cdot\vec{C}), ou seja, \vec{A}\cdot s. Mas o operador \cdot requer dois vetores. Escrever \vec{A}\cdot s tenta aplicar o produto escalar entre um vetor \vec{A} e um escalar s, e isso não está definido. Portanto, tal expressão é inválida/sem sentido na álgebra vetorial padrão.
  • Nota: o que é válido é multiplicar o vetor por um escalar, escrevendo s\vec{A} (ou \vec{A}s quando o contexto permite), sem usar um ponto. Ou seja, a expressão bem-formada seria
(\vec{B}\cdot\vec{C})\,\vec{A},
que é um vetor (resultado de escalar s multiplicando o vetor \vec{A}). Mas isso NÃO é escrito com um ponto entre \vec{A} e s.

Passo 4

Para consolidar a intuição, exemplos e formas corretas/incorrectas:
  • Exemplo numérico rápido: tome \vec{A}=(1,0,0), \vec{B}=(0,1,0), \vec{C}=(0,0,1). Então \vec{B}\cdot\vec{C}=0 (escalar). A expressão \vec{A}\cdot(\vec{B}\cdot\vec{C}) seria \vec{A}\cdot 0, que não é uma operação definida; o que se faz corretamente é 0\cdot\vec{A}=\vec{0} (o vetor nulo), sem usar o ponto.
  • Formas corretas semelhantes:
    • (\vec{A}\cdot\vec{B})\vec{C} é correto (produto escalar \vec{A}\cdot\vec{B} dá escalar que multiplica o vetor \vec{C}).
    • \vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C}) é correto (é o produto misto, um escalar).
    • (\vec{A}\times\vec{B})\cdot\vec{C} também é correto (mesma coisa, associatividade cíclica do produto misto).
    • (\vec{A}\cdot\vec{B})\cdot\vec{C} é incorreto pelo mesmo motivo da expressão original: tenta aplicar \cdot entre um escalar e um vetor.

Passo 5

Resumo didático curtinho: o problema da expressão \vec{A}\cdot(\vec{B}\cdot\vec{C}) é confundir a operação produto escalar (que precisa de dois vetores e produz um escalar) com multiplicação escalar-por-vetor. Deve-se escrever, se essa era a intenção, (\vec{B}\cdot\vec{C})\vec{A} (sem ponto), que é uma multiplicação escalar válida.

Resposta

A expressão \vec{A}\cdot(\vec{B}\cdot\vec{C}) não é significativa: \vec{B}\cdot\vec{C} é um escalar, e o produto escalar exige dois vetores; a forma correta (se a intenção for multiplicar o vetor \vec{A} pelo escalar \vec{B}\cdot\vec{C}) é (\vec{B}\cdot\vec{C})\vec{A}.

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