30.2 Um solenoide reto e longo possui N espiras, seção reta uniforme com área A e comprimento l.
a) Mostre que a indutância desse solenoide é dada pela equação L=\mu_{0} A N^{2} / l. Suponha que o campo magnético seja uniforme dentro do solenoide e nulo fora dele.
b) Uma mola metálica de laboratório normalmente possui 5.00 cm de comprimento e 0.150 cm de diâmetro, com 50 voltas. Se você conectar essa mola a um circuito elétrico, quanta autoindutância deverá ser incluída para que ela seja modelada como um solenoide ideal?

Passo 1

O enunciado dá duas partes. Vou listar claramente o que foi fornecido e o que se pede.
Dados e pedidos:
  • Parte (a): um solenoide reto e longo tem N espiras, seção reta uniforme de área A e comprimento l. Assuma que o campo magnético é uniforme dentro do solenoide e nulo fora. Pede-se mostrar que a indutância é
L=\mu_{0}\frac{A N^{2}}{l}.
  • Parte (b): uma mola (bobina metálica) de laboratório tem comprimento 5{,}00\\ \text{cm}, diâmetro 0{,}150\\ \text{cm} e 50 voltas. Pede-se calcular a autoindutância que a modelaria como um solenoide ideal (usar a fórmula da parte (a)).
Observações extraídas do enunciado (valores que usarei na parte numérica):
  • N=50.
  • comprimento l=5{,}00\\ \text{cm}=0{,}0500\\ \text{m}.
  • diâmetro d=0{,}150\\ \text{cm}=0{,}00150\\ \text{m} → raio r=d/2.
  • assumir \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \text{H/m}.
A resolução começa agora.

Passo 2

Definições fundamentais que vamos usar (explicadas com calma):
  • Fluxo magnético através de uma superfície é a integral do campo magnético sobre essa área. Em símbolos:
\Phi=\int \mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}.
Se o campo é uniforme e perpendicular à área, isso simplifica para \Phi=B A, onde B é a magnitude do campo dentro da área e A é a área.
  • Para um conjunto de N espiras, a quantidade que aparece na definição de indutância é o “acoplamento total” ou fluxo ligado às espiras, chamado de fluxo ligado ou fluxo encadeado \Lambda. Se cada espira recebe o mesmo fluxo \Phi, então
\Lambda=N\Phi.
  • Indutância L é definida pela proporcionalidade entre o fluxo ligado e a corrente que o produz:
\Lambda=L I.
Essas três ideias (fluxo por espira, fluxo ligado total, e definição de L) são o coração do cálculo.

Passo 3

Encontrar o campo magnético B dentro de um solenoide longo (breve explicação física):
  • Para um solenoide longo e reto, o campo magnético dentro é praticamente uniforme e paralelo ao eixo, e fora é praticamente nulo. Usando a Lei de Ampère (escolhendo um laço amperiano dentro do solenoide), obtém-se a relação padrão
B=\mu_{0} n I,
onde n é a densidade de espiras por comprimento (espiras por unidade de comprimento) e I é a corrente que percorre as espiras.
  • Como o solenoide tem N espiras distribuídas ao longo do comprimento l, tem-se
n=\frac{N}{l}.
Juntando,
B=\mu_{0}\frac{N}{l}\,I.
Aqui \mu_{0} é a permeabilidade magnética do vácuo ( \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \text{H/m}).

Passo 4

Calcular o fluxo por espira e o fluxo ligado total, substituindo B:
  • Como o campo é uniforme e perpendicular à seção, o fluxo em uma espira é
\Phi = B A.
Substituindo B da etapa anterior,
\Phi = \left(\mu_{0}\frac{N}{l}I\right)A = \mu_{0}\frac{A N}{l}\,I.
  • O fluxo ligado total (todas as espiras) é
\Lambda = N\Phi = N\left(\mu_{0}\frac{A N}{l}\,I\right)=\mu_{0}\frac{A N^{2}}{l}\,I.
  • Pela definição de indutância \Lambda=L I, comparando termos obtemos imediatamente
L=\mu_{0}\frac{A N^{2}}{l}.
Isso conclui a demonstração pedida na parte (a). (Resumo conceptual: cada espira “pegou” um fluxo BA; há N espiras; B é proporcional a N I / l; portanto \Lambda\propto N^{2} I e o fator de proporcionalidade é L.)

Passo 5

Verificação de unidades (checagem rápida):
  • \mu_{0} tem unidades de H/m, A tem m^{2}, N^{2} sem unidades, l tem m. Logo \mu_{0} A / l tem unidades H, como esperado para L. Boa consistência dimensional.

Passo 6

Parte (b): preparar os números (conversões e área da seção)
  • Comprimento (peguei do enunciado): l=5{,}00\\ \text{cm}=0{,}0500\\ \text{m}.
  • Diâmetro (peguei do enunciado): d=0{,}150\\ \text{cm}=0{,}00150\\ \text{m}.
  • Raio:
r=\frac{d}{2}=\frac{0{,}00150}{2}=0{,}00075\\ \text{m}.
  • Área da seção (assumindo seção circular, A=\pi r^{2}):
A=\pi r^{2}=\pi\left(0{,}00075\right)^{2}.
Calculemos numericamente:
A=\pi\times(5{,}625\times10^{-7})\approx1{,}7671459\times10^{-6}\\ \text{m}^{2}.
  • Número de voltas: N=50.
  • Constante \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \text{H/m}.

Passo 7

Substituir na fórmula L=\mu_{0} A N^{2} / l e calcular passo a passo:
  • Primeiro calcule \mu_{0}A:
\mu_{0}A=(4\pi\times10^{-7})\times(1{,}7671459\times10^{-6})\approx2{,}2214415\times10^{-12}\\ \text{H}\cdot\text{m}^{-1}\times\text{m}^{2}=\text{H}\cdot\text{m}.
(para fins práticos, este é um valor intermediário; segue a conta completa:)
  • Multiplicando por N^{2}=50^{2}=2500:
\mu_{0}A N^{2}\approx2{,}2214415\times10^{-12}\times2500=5{,}5536037\times10^{-9}.
  • Dividindo por l=0{,}0500\\ \text{m}:
L=\frac{5{,}5536037\times10^{-9}}{0{,}0500}\approx1{,}1107207\times10^{-7}\\ \text{H}.
  • Arredondando com sentido prático (duas casas significativas compatíveis com dados):
L\approx1{,}11\times10^{-7}\\ \text{H}.
Convertendo para unidades mais comuns:
L\approx0{,}111\\ \mu\text{H}=111\\ \text{nH}.

Passo 8

Comentário didático rápido e encorajador:
  • Então, modelando a mola como um solenoide ideal (campo uniforme dentro, nulo fora), a indutância é muito pequena (da ordem de 10^{-7}\\ \text{H}). Isso é esperado em bobinas curtas e de pequeno diâmetro.
  • Observação prática: na realidade a mola de laboratório pode não ser um solenoide ideal (espaçamento entre espiras, diâmetro relativo ao comprimento, fio com seção), então o valor real pode diferir um pouco — mas a estimativa acima é a que se obtém pelo modelo ideal pedido no enunciado. Força aí — já atacamos a derivação teórica e fizemos as contas numéricas!

Resposta

L=\mu_{0}\dfrac{A N^{2}}{l}
L\approx1{,}11\times10^{-7}\\ \text{H} (ou 0{,}111\\ \mu\text{H}=111\\ \text{nH})

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