30.2 Um solenoide reto e longo possui
espiras, seção reta uniforme com área
e comprimento
.
a) Mostre que a indutância desse solenoide é dada pela equação
. Suponha que o campo magnético seja uniforme dentro do solenoide e nulo fora dele.
b) Uma mola metálica de laboratório normalmente possui 5.00 cm de comprimento e 0.150 cm de diâmetro, com 50 voltas. Se você conectar essa mola a um circuito elétrico, quanta autoindutância deverá ser incluída para que ela seja modelada como um solenoide ideal?
a) Mostre que a indutância desse solenoide é dada pela equação
b) Uma mola metálica de laboratório normalmente possui 5.00 cm de comprimento e 0.150 cm de diâmetro, com 50 voltas. Se você conectar essa mola a um circuito elétrico, quanta autoindutância deverá ser incluída para que ela seja modelada como um solenoide ideal?
Passo 1
O enunciado dá duas partes. Vou listar claramente o que foi fornecido e o que se pede.
Dados e pedidos:
- Parte (a): um solenoide reto e longo tem
espiras, seção reta uniforme de área e comprimento . Assuma que o campo magnético é uniforme dentro do solenoide e nulo fora. Pede-se mostrar que a indutância é
- Parte (b): uma mola (bobina metálica) de laboratório tem comprimento
, diâmetro e voltas. Pede-se calcular a autoindutância que a modelaria como um solenoide ideal (usar a fórmula da parte (a)).
Observações extraídas do enunciado (valores que usarei na parte numérica):
-
. - comprimento
. - diâmetro
→ raio . - assumir
.
A resolução começa agora.
Passo 2
Definições fundamentais que vamos usar (explicadas com calma):
- Fluxo magnético através de uma superfície é a integral do campo magnético sobre essa área. Em símbolos:
Se o campo é uniforme e perpendicular à área, isso simplifica para
, onde
é a magnitude do campo dentro da área e
é a área.
- Para um conjunto de
espiras, a quantidade que aparece na definição de indutância é o “acoplamento total” ou fluxo ligado às espiras, chamado de fluxo ligado ou fluxo encadeado . Se cada espira recebe o mesmo fluxo , então
- Indutância
é definida pela proporcionalidade entre o fluxo ligado e a corrente que o produz:
Essas três ideias (fluxo por espira, fluxo ligado total, e definição de
) são o coração do cálculo.
Passo 3
Encontrar o campo magnético
dentro de um solenoide longo (breve explicação física):
- Para um solenoide longo e reto, o campo magnético dentro é praticamente uniforme e paralelo ao eixo, e fora é praticamente nulo. Usando a Lei de Ampère (escolhendo um laço amperiano dentro do solenoide), obtém-se a relação padrão
onde
é a densidade de espiras por comprimento (espiras por unidade de comprimento) e
é a corrente que percorre as espiras.
- Como o solenoide tem
espiras distribuídas ao longo do comprimento , tem-se
Juntando,
Aqui
é a permeabilidade magnética do vácuo (
).
Passo 4
Calcular o fluxo por espira e o fluxo ligado total, substituindo
:
- Como o campo é uniforme e perpendicular à seção, o fluxo em uma espira é
Substituindo
da etapa anterior,
- O fluxo ligado total (todas as espiras) é
- Pela definição de indutância
, comparando termos obtemos imediatamente
Isso conclui a demonstração pedida na parte (a). (Resumo conceptual: cada espira “pegou” um fluxo
; há
espiras;
é proporcional a
; portanto
e o fator de proporcionalidade é
.)
Passo 5
Verificação de unidades (checagem rápida):
-
tem unidades de H/m, tem m^{2}, sem unidades, tem m. Logo tem unidades H, como esperado para . Boa consistência dimensional.
Passo 6
Parte (b): preparar os números (conversões e área da seção)
- Comprimento (peguei do enunciado):
. - Diâmetro (peguei do enunciado):
. - Raio:
- Área da seção (assumindo seção circular,
):
Calculemos numericamente:
- Número de voltas:
. - Constante
.
Passo 7
Substituir na fórmula
e calcular passo a passo:
- Primeiro calcule
:
(para fins práticos, este é um valor intermediário; segue a conta completa:)
- Multiplicando por
:
- Dividindo por
:
- Arredondando com sentido prático (duas casas significativas compatíveis com dados):
Convertendo para unidades mais comuns:
Passo 8
Comentário didático rápido e encorajador:
- Então, modelando a mola como um solenoide ideal (campo uniforme dentro, nulo fora), a indutância é muito pequena (da ordem de
). Isso é esperado em bobinas curtas e de pequeno diâmetro. - Observação prática: na realidade a mola de laboratório pode não ser um solenoide ideal (espaçamento entre espiras, diâmetro relativo ao comprimento, fio com seção), então o valor real pode diferir um pouco — mas a estimativa acima é a que se obtém pelo modelo ideal pedido no enunciado. Força aí — já atacamos a derivação teórica e fizemos as contas numéricas!