Vectors
and
have magnitudes of 3 units and 4 units, respectively. What is the angle between the directions of
and
if
equals
-12 units?
-12 units?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede. Dados:
- o vetor
tem magnitude unidades; - o vetor
tem magnitude unidades; - o produto escalar vale
unidades.
O que o problema pede:
- encontrar o ângulo entre as direções de
e .
Passo 2
Explicar a fórmula que liga produto escalar com o ângulo entre vetores. Para dois vetores
e
, a definição geométrica do produto escalar é
onde:
-
é o comprimento (magnitude) de ; -
é o comprimento (magnitude) de ; -
é o ângulo entre as direções de e ; -
é o cosseno desse ângulo.
Essa fórmula é fundamental: o produto escalar mede quanto um vetor projeta no outro, e o cosseno traduz essa orientação angular.
Passo 3
Substituir os valores conhecidos na fórmula. Temos
,
e
. Então
Passo 4
Resolver a equação para
. Calcule o produto das magnitudes:
Portanto
Passo 5
Interpretar o valor
. Sabendo a função cosseno,
ocorre quando
O valor principal é
que corresponde a
Passo 6
Checagem rápida e interpretação geométrica:
significa que os vetores apontam em direções exatamente opostas (colineares, mas em sentidos contrários). Faz sentido com o produto escalar negativo e de magnitude máxima possível em módulo (porque
e o produto escalar foi
).