Vectors vec{C} and vec{D} have magnitudes of 3 units and 4 units, respectively. What is the angle between the directions of vec{C} and vec{D} if vec{C} \cdot \vec{D} equals
-12 units?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede. Dados:
  • o vetor \vec{C} tem magnitude |\vec{C}|=3 unidades;
  • o vetor \vec{D} tem magnitude |\vec{D}|=4 unidades;
  • o produto escalar vale \vec{C}\cdot\vec{D}=-12 unidades.
O que o problema pede:
  • encontrar o ângulo entre as direções de \vec{C} e \vec{D}.

Passo 2

Explicar a fórmula que liga produto escalar com o ângulo entre vetores. Para dois vetores \vec{C} e \vec{D}, a definição geométrica do produto escalar é
\vec{C}\cdot\vec{D}=|\vec{C}|\;|\vec{D}|\cos\theta,
onde:
  • |\vec{C}| é o comprimento (magnitude) de \vec{C};
  • |\vec{D}| é o comprimento (magnitude) de \vec{D};
  • \theta é o ângulo entre as direções de \vec{C} e \vec{D};
  • \cos\theta é o cosseno desse ângulo.
Essa fórmula é fundamental: o produto escalar mede quanto um vetor projeta no outro, e o cosseno traduz essa orientação angular.

Passo 3

Substituir os valores conhecidos na fórmula. Temos \vec{C}\cdot\vec{D}=-12, |\vec{C}|=3 e |\vec{D}|=4. Então
-12 = 3\cdot 4 \cdot \cos\theta.

Passo 4

Resolver a equação para \cos\theta. Calcule o produto das magnitudes:
3\cdot 4 = 12.
Portanto
-12 = 12\cos\theta \quad\Rightarrow\quad \cos\theta = \dfrac{-12}{12} = -1.

Passo 5

Interpretar o valor \cos\theta = -1. Sabendo a função cosseno, \cos\theta=-1 ocorre quando
\theta = \operatorname{arccos}(-1).
O valor principal é
\theta = \pi\\ \text{radianos},
que corresponde a
\theta = 180^\circ.

Passo 6

Checagem rápida e interpretação geométrica: \cos\theta=-1 significa que os vetores apontam em direções exatamente opostas (colineares, mas em sentidos contrários). Faz sentido com o produto escalar negativo e de magnitude máxima possível em módulo (porque |\vec{C}||\vec{D}|=12 e o produto escalar foi -12).

Resposta

\theta = 180^\circ
\theta = \pi\\ \text{rad}

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