Quais das seguintes expressões vetoriais são corretas (significativas)? O que há de errado com qualquer expressão incorreta?
(\vec{A} \cdot \vec{B})+(\vec{B} \times \vec{C})

Passo 1

O enunciado dá a expressão
(\vec{A}\cdot\vec{B})+(\vec{B}\times\vec{C})
e pergunta se ela é correta (significativa). As informações relevantes que temos:
  • \vec{A}, \vec{B} e \vec{C} são vetores (em, presumivelmente, \mathbb{R}^3 ou espaço vetorial similar).
  • A expressão envolve um produto escalar (\vec{A}\cdot\vec{B}) e um produto vetorial (\vec{B}\times\vec{C}).
    O que se pede: decidir se a soma acima faz sentido e, se não fizer, explicar o que está errado.

Passo 2

O que é o produto escalar (dot)? Definição e tipo de objeto resultante.
  • O produto escalar de dois vetores \vec{A} e \vec{B} é um número (um escalar). Em coordenadas:
\vec{A}\cdot\vec{B}=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z,
onde A_x,A_y,A_z e B_x,B_y,B_z são as componentes de \vec{A} e \vec{B}.
  • Portanto, o resultado de (\vec{A}\cdot\vec{B}) é um escalar (um elemento do corpo de escalares, por exemplo \mathbb{R}).
Exemplo numérico rápido (só para fixar): se \vec{A}=(1,2,3) e \vec{B}=(4,5,6) então
\vec{A}\cdot\vec{B}=1\cdot4+2\cdot5+3\cdot6=32,
ou seja, um número.

Passo 3

O que é o produto vetorial (cross)? Definição e tipo de objeto resultante.
  • O produto vetorial de dois vetores \vec{B} e \vec{C} em \mathbb{R}^3 é um vetor perpendicular a ambos, com fórmula (determinantal):
\vec{B}\times\vec{C}=\begin{vmatrix} \hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k}\\[4pt] B_x & B_y & B_z\\[4pt] C_x & C_y & C_z \end{vmatrix},
e o resultado é um vetor (\;,\;,\;).
  • Portanto, o resultado de (\vec{B}\times\vec{C}) é um vetor.
Exemplo numérico rápido: se \vec{B}=(4,5,6) e \vec{C}=(0,1,0) então
\vec{B}\times\vec{C}=(-6,0,4),
que é um vetor.]

Passo 4

Regra de soma: o que se pode somar?
  • Em álgebra vetorial, só se pode somar objetos do mesmo tipo: vetores com vetores e escalares com escalares.
  • Não existe definição consistente para somar diretamente um escalar com um vetor (o operador + entre um número e um vetor não é definido no espaço vetorial padrão).
Aplicando isso à expressão dada:
  • (\vec{A}\cdot\vec{B}) é um escalar.
  • (\vec{B}\times\vec{C}) é um vetor.
  • Logo tentar fazer \text{(escalar)} + \text{(vetor)} é inválido: a soma não está definida.
Com os exemplos numéricos anteriores isso fica claro: escrever
32 + (-6,0,4)
não faz sentido matematicamente — não se pode somar o número 32 com o vetor (-6,0,4).

Passo 5

Observações sobre casos especiais e maneiras corretas de “consertar” a expressão.
  • Mesmo que numericamente o escalar seja zero, 0 como escalar não pode ser somado diretamente a um vetor sem uma identificação explícita; a forma correta seria usar o vetor nulo \vec{0} (que é um vetor). Em geral, não confunda 0 escalar com \vec{0} vetorial.
  • Jeitos válidos de transformar a expressão em algo significativo:
    • Converter o escalar em vetor multiplicando-o por um vetor unitário fixo \hat{u}, por exemplo
    (\vec{A}\cdot\vec{B})\,\hat{u}+(\vec{B}\times\vec{C}),aí soma-se vetor com vetor.
    • Transformar o segundo termo em escalar, fazendo um produto escalar com outro vetor \vec{D}:
    (\vec{A}\cdot\vec{B})+(\vec{B}\times\vec{C})\cdot\vec{D},ambos termos são escalares.
    • Usar produtos escalares/triplos apropriados, por exemplo o produto escalar triplo \vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C}) é um escalar bem definido.
  • Portanto a “correção” depende do que se pretende: tornar os dois termos vetores ou tornar os dois termos escalares.

Passo 6

Resumo didático e incentivo rápido:
  • Regra prática para a prova: antes de somar termos, cheque o tipo (escalar ou vetor). Se um for escalar e o outro vetor, a soma é inválida. Respira, faz esse check rápido e evita erro bobinho na hora da prova — isso é pergunta de raciocínio mais do que de cálculo.

Resposta

A expressão não é significativa: (\vec{A}\cdot\vec{B}) é um escalar enquanto (\vec{B}\times\vec{C}) é um vetor, e não se pode somar escalar com vetor.

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