Quais das seguintes expressões vetoriais são corretas (significativas)? O que há de errado com qualquer expressão incorreta?
Passo 1
O enunciado pergunta se a expressão
é correta (significativa) e, se não for, qual é o problema.
Informações dadas explicitamente:
Informações dadas explicitamente:
- A expressão é
. - Não há outras hipóteses no enunciado (como a dimensão dos vetores ou unidades físicas), por isso é preciso explicitar as hipóteses necessárias para que a expressão faça sentido.
Passo 2
O que significa uma expressão vetorial ser “significativa”?
- Para somar dois objetos é preciso que ambos sejam vetores do mesmo espaço vetorial (mesma dimensão e mesma natureza física — por exemplo, ambos forças, ou ambos deslocamentos). Não faz sentido somar um vetor posição com um vetor velocidade sem verificar a interpretação física.
- A operação
(produto vetorial, ou “cross product”) tem definição algébrica e geométrica específica: o resultado é um vetor. Logo, em princípio, é uma soma de vetores — isso só vai ser válido se os vetores estiverem no mesmo espaço vetorial apropriado. Vou explicar a definição do produto vetorial para deixar isso claro.
Passo 3
Definição e propriedades do produto vetorial (passo-a-passo, sem pular etapas):
- O produto vetorial
é definido (no cálculo elementar) para vetores do espaço tridimensional . Geometricamente, é o vetor perpendicular a e cujo módulo é , onde é o ângulo entre e . - Em coordenadas cartesianas, se
e , então o produto vetorial tem componentes dadas por:
- Observações importantes:
é anti‑comutativo, ou seja . Também não é associativo com a soma em geral (ou seja, em geral) — mas isso não impede a expressão dada, que é soma de um vetor com outro vetor (resultado do cross).
Passo 4
Condição necessária e suficiente para que
seja significativa:
- É necessário que
esteja bem definido como vetor — isto exige que e sejam vetores em (ou, em uma teoria mais avançada, em um espaço onde existe um produto vetorial, tipicamente ; em casos especiais existe um análogo em , mas isso não entra no nível básico). - É necessário que
seja também um vetor em (ou no mesmo espaço em que vive). Só assim a soma é uma soma legítima de vetores. - Em contextos físicos, deve-se também exigir que
e representem a mesma grandeza física (mesmas unidades); caso contrário a soma não tem sentido físico mesmo que esteja bem definida matematicamente.
Passo 5
Exemplo concreto (para ver na prática como calcular passo a passo):
- Tome
, e . Todos em . - Primeiro calcule
usando a fórmula das componentes:
Substituindo
obtemos
- Agora some com
:
Isto mostra que, quando todos os vetores estão em
, a operação é simples: calcula-se o cross e depois soma componente a componente.
Passo 6
Erros possíveis se a expressão for usada sem cuidado (lista didática):
- Se
e estiverem em e o estudante tentar aplicar a fórmula do cross sem levar em conta que o cross não é definido da mesma forma em 2D, isso é um erro — em 2D costuma‑se identificar um “pseudo‑vetor” perpendicular ao plano, mas isso muda a natureza do objeto somado. - Se
for de dimensão diferente de e (por ex. e ), a soma não está definida. - Em problemas de física, somar vetores com grandezas diferentes (por ex.
é deslocamento e tem dimensões de força) é fisicamente incorreto mesmo que matematicamente cada operação esteja bem definida.
Passo 7
Resumo (prático para a prova):
- Verifique a dimensão: se
, então é um vetor em e a soma é perfeitamente válida. - Se não houver informação sobre a dimensão, deixe explícito na resposta que é preciso assumir vetores em
. - Sempre cheque unidades físicas quando o contexto for físico.
Resposta
A expressão
é significativa desde que
e
sejam vetores em
(ou em um espaço onde o produto vetorial esteja definido) e
seja um vetor no mesmo espaço (além de terem a mesma natureza/unidades físicas, se for caso físico). Caso contrário a expressão não é definida; o erro típico é usar o produto vetorial fora de
ou somar vetores de dimensões/tipos diferentes.