Quais das seguintes expressões vetoriais são corretas (significativas)? O que há de errado com qualquer expressão incorreta?
\vec{A}+(\vec{B} \times \vec{C})

Passo 1

O enunciado pergunta se a expressão \vec{A}+(\vec{B}\times\vec{C}) é correta (significativa) e, se não for, qual é o problema.
Informações dadas explicitamente:
  • A expressão é \vec{A}+(\vec{B}\times\vec{C}).
  • Não há outras hipóteses no enunciado (como a dimensão dos vetores ou unidades físicas), por isso é preciso explicitar as hipóteses necessárias para que a expressão faça sentido.

Passo 2

O que significa uma expressão vetorial ser “significativa”?
  • Para somar dois objetos é preciso que ambos sejam vetores do mesmo espaço vetorial (mesma dimensão e mesma natureza física — por exemplo, ambos forças, ou ambos deslocamentos). Não faz sentido somar um vetor posição com um vetor velocidade sem verificar a interpretação física.
  • A operação \times (produto vetorial, ou “cross product”) tem definição algébrica e geométrica específica: o resultado \vec{B}\times\vec{C} é um vetor. Logo, em princípio, \vec{A}+(\vec{B}\times\vec{C}) é uma soma de vetores — isso só vai ser válido se os vetores estiverem no mesmo espaço vetorial apropriado. Vou explicar a definição do produto vetorial para deixar isso claro.

Passo 3

Definição e propriedades do produto vetorial (passo-a-passo, sem pular etapas):
  • O produto vetorial \vec{B}\times\vec{C} é definido (no cálculo elementar) para vetores do espaço tridimensional \mathbb{R}^3. Geometricamente, é o vetor perpendicular a \vec{B} e \vec{C} cujo módulo é |\vec{B}||\vec{C}|\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre \vec{B} e \vec{C}.
  • Em coordenadas cartesianas, se \vec{B}=(B_x,B_y,B_z) e \vec{C}=(C_x,C_y,C_z), então o produto vetorial tem componentes dadas por:
\vec{B}\times\vec{C}=\bigl(B_y C_z - B_z C_y,\; B_z C_x - B_x C_z,\; B_x C_y - B_y C_x\bigr).
  • Observações importantes: \vec{B}\times\vec{C} é anti‑comutativo, ou seja \vec{B}\times\vec{C}=-(\vec{C}\times\vec{B}). Também não é associativo com a soma em geral (ou seja, (\vec{A}+\vec{B})\times\vec{C}\neq \vec{A}+(\vec{B}\times\vec{C}) em geral) — mas isso não impede a expressão dada, que é soma de um vetor com outro vetor (resultado do cross).

Passo 4

Condição necessária e suficiente para que \vec{A}+(\vec{B}\times\vec{C}) seja significativa:
  • É necessário que \vec{B}\times\vec{C} esteja bem definido como vetor — isto exige que \vec{B} e \vec{C} sejam vetores em \mathbb{R}^3 (ou, em uma teoria mais avançada, em um espaço onde existe um produto vetorial, tipicamente \mathbb{R}^3; em casos especiais existe um análogo em \mathbb{R}^7, mas isso não entra no nível básico).
  • É necessário que \vec{A} seja também um vetor em \mathbb{R}^3 (ou no mesmo espaço em que \vec{B}\times\vec{C} vive). Só assim a soma \vec{A}+(\vec{B}\times\vec{C}) é uma soma legítima de vetores.
  • Em contextos físicos, deve-se também exigir que \vec{A} e \vec{B}\times\vec{C} representem a mesma grandeza física (mesmas unidades); caso contrário a soma não tem sentido físico mesmo que esteja bem definida matematicamente.

Passo 5

Exemplo concreto (para ver na prática como calcular passo a passo):
  • Tome \vec{A}=(1,2,3), \vec{B}=(0,1,0) e \vec{C}=(1,0,0). Todos em \mathbb{R}^3.
  • Primeiro calcule \vec{B}\times\vec{C} usando a fórmula das componentes:
\vec{B}\times\vec{C}=\bigl(B_y C_z - B_z C_y,\; B_z C_x - B_x C_z,\; B_x C_y - B_y C_x\bigr).
Substituindo B_x=0,\\ B_y=1,\\ B_z=0,\\ C_x=1,\\ C_y=0,\\ C_z=0 obtemos
\vec{B}\times\vec{C}=(1\cdot 0 - 0\cdot 0,\; 0\cdot 1 - 0\cdot 0,\; 0\cdot 0 - 1\cdot 1)=(0,0,-1).
  • Agora some com \vec{A}:
\vec{A}+(\vec{B}\times\vec{C})=(1,2,3)+(0,0,-1)=(1,2,2).
Isto mostra que, quando todos os vetores estão em \mathbb{R}^3, a operação é simples: calcula-se o cross e depois soma componente a componente.

Passo 6

Erros possíveis se a expressão for usada sem cuidado (lista didática):
  • Se \vec{B} e \vec{C} estiverem em \mathbb{R}^2 e o estudante tentar aplicar a fórmula do cross sem levar em conta que o cross não é definido da mesma forma em 2D, isso é um erro — em 2D costuma‑se identificar um “pseudo‑vetor” perpendicular ao plano, mas isso muda a natureza do objeto somado.
  • Se \vec{A} for de dimensão diferente de \vec{B} e \vec{C} (por ex. \vec{A}\in\mathbb{R}^2 e \vec{B},\vec{C}\in\mathbb{R}^3), a soma não está definida.
  • Em problemas de física, somar vetores com grandezas diferentes (por ex. \vec{A} é deslocamento e \vec{B}\times\vec{C} tem dimensões de força) é fisicamente incorreto mesmo que matematicamente cada operação esteja bem definida.

Passo 7

Resumo (prático para a prova):
  • Verifique a dimensão: se \vec{A},\vec{B},\vec{C}\in\mathbb{R}^3, então \vec{B}\times\vec{C} é um vetor em \mathbb{R}^3 e a soma \vec{A}+(\vec{B}\times\vec{C}) é perfeitamente válida.
  • Se não houver informação sobre a dimensão, deixe explícito na resposta que é preciso assumir vetores em \mathbb{R}^3.
  • Sempre cheque unidades físicas quando o contexto for físico.

Resposta

A expressão \vec{A}+(\vec{B}\times\vec{C}) é significativa desde que \vec{B} e \vec{C} sejam vetores em \mathbb{R}^3 (ou em um espaço onde o produto vetorial esteja definido) e \vec{A} seja um vetor no mesmo espaço (além de terem a mesma natureza/unidades físicas, se for caso físico). Caso contrário a expressão não é definida; o erro típico é usar o produto vetorial fora de \mathbb{R}^3 ou somar vetores de dimensões/tipos diferentes.

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