Quais das seguintes expressões vetoriais são corretas (significativas)? O que há de errado com qualquer expressão incorreta?
Passo 1
O enunciado pede que verifiquemos se a expressão
é correta (significativa). As informações dadas são:
- o número
(um escalar real); - o vetor
(suponha em , com componentes ).
A pergunta é: faz sentido somar
e
tal como estão escritos?
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar direitinho o que são escalares e vetores e como as operações entre eles são definidas.
- Um escalar é um número real, por exemplo
. - Um vetor em
é uma lista ordenada de componentes: . - Operações válidas:
- Soma de vetores: se
, então a soma é definida componente a componente: - Multiplicação de vetor por escalar: se
e , então
- Soma de vetores: se
- Não existe, por definição padrão em álgebra linear, uma operação que some diretamente um escalar e um vetor (isto é, não está definida a expressão escalar
vetor).
Passo 3
Aplicando isso à expressão
:
- O lado esquerdo é um escalar
. - O lado direito é um vetor
(um n-tuplo).
Como a soma está definida apenas entre elementos do mesmo tipo (dois escalares ou dois vetores do mesmo espaço), a expressãonão é significativa na forma escrita — não há regra padrão que transforme automaticamente o escalar em um vetor compatível.
Um contraexemplo numérico para ver a incompatibilidade: se
em
, a expressão
não tem sentido porque não existe uma definição padrão que some o número
com o par ordenado
.
Passo 4
Como corrigir / tornar a expressão significativa (opções comuns que aparecem em provas):
-
Se a intenção foi multiplicar o vetor por
, escreva o que é correto: Exemplo: se, então . -
Se a intenção foi somar um vetor cujas componentes são todas
, escreva explicitamente esse vetor: Exemplo em: . -
Se a intenção foi somar na direção de um eixo (por exemplo adicionar 5 na componente
apenas), escreva o vetor unitário correspondente: -
Se trabalhar num contexto onde se identifica vetores com escalares (o que é fora do padrão), isso deve ser declarado explicitamente; caso contrário, não se deve assumir isso.
Passo 5
Dicas rápidas para a prova (práticas e salva-vidas):
- Sempre verifique os tipos: cada soma deve juntar duas coisas do mesmo tipo (escalar+escalar ou vetor+vetor).
- Cheque a dimensão dos vetores antes de somar.
- Se vir algo como
, pergunte-se se deveria ser (com um vetor unitário), ou , ou se o autor quis escrever .
Força aí — é comum confundir na pressa, mas esse teste de “tipo/dimensão” é rápido e salva tempo na prova.
Resposta
A expressão
não é significativa: não se pode somar diretamente um escalar e um vetor. Possíveis correções (dependendo da intenção):
,
ou
(cada uma válida em seu contexto).