Quais das seguintes expressões vetoriais são corretas (significativas)? O que há de errado com qualquer expressão incorreta?
5+\vec{A}

Passo 1

O enunciado pede que verifiquemos se a expressão 5+\vec{A} é correta (significativa). As informações dadas são:
  • o número 5 (um escalar real);
  • o vetor \vec{A} (suponha \vec{A} em \mathbb{R}^n, com componentes \vec{A}=(A_1,A_2,\dots,A_n)).
A pergunta é: faz sentido somar 5 e \vec{A} tal como estão escritos?

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar direitinho o que são escalares e vetores e como as operações entre eles são definidas.
  • Um escalar é um número real, por exemplo 5.
  • Um vetor em \mathbb{R}^n é uma lista ordenada de n componentes: \vec{A}=(A_1,A_2,\dots,A_n).
  • Operações válidas:
    • Soma de vetores: se \vec{A},\vec{B}\in\mathbb{R}^n, então a soma \vec{A}+\vec{B} é definida componente a componente: \vec{A}+\vec{B}=(A_1+B_1,\;A_2+B_2,\;\dots,\;A_n+B_n).
    • Multiplicação de vetor por escalar: se \lambda\in\mathbb{R} e \vec{A}\in\mathbb{R}^n, então \lambda\vec{A}=(\lambda A_1,\;\lambda A_2,\;\dots,\;\lambda A_n).
  • Não existe, por definição padrão em álgebra linear, uma operação que some diretamente um escalar e um vetor (isto é, não está definida a expressão escalar + vetor).

Passo 3

Aplicando isso à expressão 5+\vec{A}:
  • O lado esquerdo é um escalar 5.
  • O lado direito é um vetor \vec{A} (um n-tuplo).
    Como a soma está definida apenas entre elementos do mesmo tipo (dois escalares ou dois vetores do mesmo espaço), a expressão 5+\vec{A} não é significativa na forma escrita — não há regra padrão que transforme automaticamente o escalar em um vetor compatível.
Um contraexemplo numérico para ver a incompatibilidade: se \vec{A}=(2,-1) em \mathbb{R}^2, a expressão 5+(2,-1) não tem sentido porque não existe uma definição padrão que some o número 5 com o par ordenado (2,-1).

Passo 4

Como corrigir / tornar a expressão significativa (opções comuns que aparecem em provas):
  • Se a intenção foi multiplicar o vetor por 5, escreva o que é correto:
    5\vec{A}\quad\text{(multiplicação escalar, válida)}.çãá
    Exemplo: se \vec{A}=(1,2,3), então 5\vec{A}=(5,10,15).
  • Se a intenção foi somar um vetor cujas componentes são todas 5, escreva explicitamente esse vetor:
    (5,5,\dots,5)+\vec{A}\quad\text{(válido, desde que esteja em \(\mathbb{R}^n\))}.á
    Exemplo em \mathbb{R}^3: (5,5,5)+(1,2,3)=(6,7,8).
  • Se a intenção foi somar na direção de um eixo (por exemplo adicionar 5 na componente x apenas), escreva o vetor unitário correspondente:
    5\hat{\mathbf{i}}+\vec{A}\quad\text{(válido em \(\mathbb{R}^n\) com \(\hat{\mathbf{i}}\) definido)}.á
  • Se trabalhar num contexto onde se identifica vetores com escalares (o que é fora do padrão), isso deve ser declarado explicitamente; caso contrário, não se deve assumir isso.

Passo 5

Dicas rápidas para a prova (práticas e salva-vidas):
  • Sempre verifique os tipos: cada soma deve juntar duas coisas do mesmo tipo (escalar+escalar ou vetor+vetor).
  • Cheque a dimensão dos vetores antes de somar.
  • Se vir algo como a+\vec{B}, pergunte-se se a deveria ser a\vec{u} (com \vec{u} um vetor unitário), ou (a,a,\dots,a), ou se o autor quis escrever a\vec{B}.
Força aí — é comum confundir na pressa, mas esse teste de “tipo/dimensão” é rápido e salva tempo na prova.

Resposta

A expressão 5+\vec{A} não é significativa: não se pode somar diretamente um escalar e um vetor. Possíveis correções (dependendo da intenção): 5\vec{A}, (5,5,\dots,5)+\vec{A} ou 5\hat{\mathbf{i}}+\vec{A} (cada uma válida em seu contexto).

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