Quais das seguintes formas são tautologias, proposições logicamente falsas ou nenhuma das duas condições?
Passo 1
O enunciado pede para classificarmos a forma
como sendo uma tautologia (sempre verdadeira), uma proposição logicamente falsa (contradição, sempre falsa) ou nenhuma das duas (contingente, ora verdadeira ora falsa).
Passo 2
Lembrando que
é falsa somente quando é verdadeira e
falsa; e que
é verdadeira exatamente quando e
têm o mesmo valor de verdade.
é falsa somente quando
é verdadeira exatamente quando
Passo 3
Vamos analisar dois casos principais:
falso e
verdadeiro.
Caso
falso:
- Então
é verdadeiro. - O membro esquerdo fica
- O membro direito fica
Logo a fórmula torna-se
Passo 4
Avaliação do caso
falso em cada par
:
-
: , mas , então . -
: , mas , então valor é . -
: , , valor é . -
: (na verdade ), , valor é .
Dessa forma, para
falso há casos em que a fórmula vale verdadeira e casos em que vale falsa.
Passo 5
Caso
verdadeiro:
- Então
vale . - O membro esquerdo é
. - O membro direito é
.
Logo em qualquer partemos
Passo 6
Como em alguns casos (quando
) a forma assume valor falso e em outros (por exemplo,
) assume valor verdadeiro, ela não é nem tautologia nem contradição.
Resposta
Nenhuma das duas condições (é contingente).