Quais das seguintes formas são tautologias, proposições logicamente falsas ou nenhuma das duas condições?
((\mathrm{p} \rightarrow \mathrm{q}) \leftrightarrow \mathrm{r}) \leftrightarrow(\mathrm{p} \rightarrow(\mathrm{q} \leftrightarrow \mathrm{r}))

Passo 1

O enunciado pede para classificarmos a forma
\bigl((p\to q)\leftrightarrow r\bigr)\leftrightarrow\bigl(p\to (q\leftrightarrow r)\bigr)
como sendo uma tautologia (sempre verdadeira), uma proposição logicamente falsa (contradição, sempre falsa) ou nenhuma das duas (contingente, ora verdadeira ora falsa).

Passo 2

Lembrando que p\to q
é falsa somente quando p é verdadeira e q falsa; e que A\leftrightarrow B
é verdadeira exatamente quando A e B têm o mesmo valor de verdade.

Passo 3

Vamos analisar dois casos principais: p falso e p verdadeiro.
Caso p falso:
  • Então p\to q é verdadeiro.
  • O membro esquerdo fica
(p\to q)\leftrightarrow r = \text{V}\leftrightarrow r = r.
  • O membro direito fica
q\leftrightarrow r, \quad p\to(q\leftrightarrow r)=\text{V}\to(q\leftrightarrow r)=q\leftrightarrow r.
Logo a fórmula torna-se
r \;\leftrightarrow\; (q\leftrightarrow r).

Passo 4

Avaliação do caso p falso em cada par (q,r):
  • q=\text{F},\,r=\text{F}: q\leftrightarrow r=\text{V}, mas r=\text{F}, então r\leftrightarrow(q\leftrightarrow r)=\text{F}.
  • q=\text{F},\,r=\text{T}: q\leftrightarrow r=\text{F}, mas r=\text{T}, então valor é \text{F}.
  • q=\text{T},\,r=\text{F}: q\leftrightarrow r=\text{F}, r=\text{F}, valor é \text{V}.
  • q=\text{T},\,r=\text{T}: q\leftrightarrow r=\text{V}\?! (na verdade \text{T}), r=\text{T}, valor é \text{T}.
Dessa forma, para p falso há casos em que a fórmula vale verdadeira e casos em que vale falsa.

Passo 5

Caso p verdadeiro:
  • Então p\to q vale q.
  • O membro esquerdo é (q\leftrightarrow r).
  • O membro direito é p\to(q\leftrightarrow r)=q\leftrightarrow r.
    Logo em qualquer par (q,r) temos
(q\leftrightarrow r)\;\leftrightarrow\;(q\leftrightarrow r)=\text{V}.

Passo 6

Como em alguns casos (quando p=\text{F}) a forma assume valor falso e em outros (por exemplo, p=\text{T}) assume valor verdadeiro, ela não é nem tautologia nem contradição.

Resposta

Nenhuma das duas condições (é contingente).

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