A função densidade de uma variável aleatória [X) é:
f(x)= \begin{cases}\frac{x^{2}}{81}, & -3<x<6 \\\\ 0, & \text { caso contrário }\end{cases}á
Encontre a função densidade para a variável aleatória (Y=\frac{1}{3}(12-X)].

Passo 1

O enunciado dá a densidade de X\): \[f_X(x)= \begin{cases} \dfrac{x^2}{81},&-3<x<6,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}
Precisamos achar a densidade de
Y = \tfrac13\,(12 - X).
O método é usar transformação linear de variável: encontrar a inversa X\] em função de \(Y, calcular o jacobiano e determinar o novo suporte.

Passo 2

Escrevendo a inversa da transformação, temos
Y = \tfrac13\,(12 - X)\quad\Longrightarrow\quad X = 12 - 3Y.
O módulo da derivada dessa inversa é
\Bigl|\frac{dX}{dY}\Bigr| = |{-3}| = 3.

Passo 3

O suporte de Y vem do intervalo de X. Como -3 < X < 6, substituímos X=12-3Y:
-3 < 12 - 3Y < 6 \;\Longrightarrow\; -15 < -3Y < -6 \;\Longrightarrow\; 5 > Y > 2.
Logo, Y varia em 2<Y<5.

Passo 4

Pela fórmula de mudança de variável,
f_Y(y) = f_X\bigl(12 - 3y\bigr)\;\Bigl|\tfrac{dX}{dY}\Bigr| = \frac{(12-3y)^2}{81}\,\cdot 3 = \frac{(12-3y)^2}{27},
para 2<y<5, e zero fora disso. Podemos escrever
(12-3y)^2 = 9\,(4-y)^2 \;\Longrightarrow\; f_Y(y) = \frac{9\,(4-y)^2}{27} = \frac{(4-y)^2}{3}.

Resposta

f_Y(y)= \begin{cases} \dfrac{(12-3y)^2}{27},&2<y<5,\\[6pt] 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}á
(ou equivalentemente \tfrac{(4-y)^2}{3} para 2<y<5).]

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