Exercício 11. Uma variável aleatória X tem a função densidade f(x)=\frac{c}{x^{2}+1}, onde x \in \mathbb{R}.
(a) Encontre o valor da constante c.
(b) Encontre a probabilidade de que X^{2} esteja entre \frac{1}{3} e 1 .
(c) Encontre a função de distribuição acumulada F_{X}(x) para a variável aleatória X.

Passo 1

O enunciado diz que X é uma variável contínua em \mathbb{R} com densidade
f(x)=\frac{c}{x^{2}+1}.
Para resolver precisamos de três ideias principais:
  1. A condição de normalização \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=1.
  2. A integral
\int\frac{dx}{x^{2}+1}=\arctan x.
  1. Que P\bigl(a\le X^{2}\le b\bigr)=P\bigl(\sqrt{a}\le|X|\le\sqrt{b}\bigr) e a simetria de f.

Passo 2

Para achar c usamos
1=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx =\int_{-\infty}^{\infty}\frac{c}{x^{2}+1}\,dx =c\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+1} =c\bigl[\arctan x\bigr]_{-\infty}^{\infty} =c\bigl(\tfrac{\pi}{2}-(-\tfrac{\pi}{2})\bigr) =c\pi.
Logo
c=\frac{1}{\pi}.

Passo 3

Queremos
P\Bigl(\tfrac{1}{3}\le X^{2}\le1\Bigr) =P\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\le|X|\le1\Bigr) =2\int_{1/\sqrt{3}}^{1}\frac{1/\pi}{x^{2}+1}\,dx =\frac{2}{\pi}\Bigl[\arctan x\Bigr]_{1/\sqrt{3}}^{1} =\frac{2}{\pi}\Bigl(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}\Bigr) =\frac{1}{6}.

Passo 4

A função de distribuição acumulada é
F_{X}(x)=P(X\le x) =\int_{-\infty}^{x}\frac{1/\pi}{1+t^{2}}\,dt =\frac{1}{\pi}\bigl[\arctan t\bigr]_{-\infty}^{x} =\frac{1}{\pi}\bigl(\arctan x +\tfrac{\pi}{2}\bigr) =\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\arctan x.

Resposta

(a) c=\dfrac{1}{\pi}.
(b) P\bigl(\tfrac{1}{3}\le X^{2}\le1\bigr)=\dfrac{1}{6}.
(c) F_{X}(x)=\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\arctan x.

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