Para as seguintes fórmulas, responda: Seja
uma interpretação que interpreta todas as fórmulas como sendo verdadeiras. Além disso,
. O que se pode concluir a respeito de
e
, em cada um dos casos?
Passo 1
A fórmula dada pertence à Lógica Proposicional e é
$$(P \to Q) \to \bigl(((P \wedge Q) \leftrightarrow P) \wedge ((P \vee Q) \leftrightarrow Q)\bigr).
$$
Precisamos usar a definição de implicação e analisar os possíveis valores de verdade de (e de
, que não aparece na fórmula).
Precisamos usar a definição de implicação e analisar os possíveis valores de verdade de
Passo 2
Lembre-se que uma implicação
é falsa apenas quando
e
; nos outros casos ela vale
. Como
, o antecedente
passa a valer exatamente
.
Passo 3
Caso 1: se
, então o antecedente é
e precisamos que o consequente seja
. Mas substituindo
e
, verifica-se que
e
,
o que torna o consequente . Logo, a fórmula vale
.
o que torna o consequente
Passo 4
Caso 2: se
, então o antecedente é
e toda a implicação é
independente do valor do consequente. Assim, a fórmula também vale
.
Passo 5
Em ambos os casos a fórmula é satisfeita, de modo que não há restrição sobre
. E como
não aparece na fórmula,
também pode ser arbitrário.