- Qual das seguintes fórmulas é uma tautologia?
-
-
-
-
Passo 1
Resumindo o enunciado, queremos saber qual das quatro fórmulas abaixo é verdadeira para toda atribuição de valores lógicos (isto é, qual é uma tautologia):
-
-
-
-
O conteúdo é lógica proposicional e vamos usar a definição de tautologia (verdadeira em todas as valorações) testando contraexemplos quando possível e, no caso do candidato 3, usando raciocínio lógico para mostrar que nunca pode ser falsa.
Passo 2
Analisamos a fórmula 1 e buscamos uma valoração que a torne falsa. Para que
seja falsa, precisamos de
verdadeiro e
falso. Seja
e
.
-
é V, e é V, logo o antecedente é V. -
é V, então é F.
Portanto a implicação é F, mostrando que a fórmula 1 não é verdadeira em todas as valorações.
Passo 3
Analisamos a fórmula 2 que é uma conjunção. Basta um dos termos ser F para a conjunção falhar. Tome
,
e
.
-
é V, e daí é V V = V. -
é F.
Logo VF = F, provando que a fórmula 2 também não é tautologia.
Passo 4
Analisamos a fórmula 4. De novo, basta encontrar uma valoração que a torne F. Seja
,
,
.
-
é V, mas é F, então é V F = F. -
é V.
A conjunção FV = F, então a fórmula 4 não é tautologia.
Passo 5
Agora a fórmula 3:
Para checar que isso é sempre V, fazemos uma prova por casos:
- Se
for F, então é V de imediato (implicação com antecedente F é sempre V), logo a implicação externa é V. - Se
for V, então para ser V precisamos de V (pois = V q só é V se ) e daí, para ser V precisamos de V. Logo V implica V, portanto é V.
Em ambos os casos a implicação final é V, mostrando que a fórmula 3 não pode ser falsa em nenhuma valoração, ou seja, é uma tautologia.