1. Sobre a fórmula (p \rightarrow q) \vee(q \rightarrow r), assinale as alternativas corretas. Escolha uma ou mais:
  1. Esta fórmula é válida
  2. Esta fórmula é satisfazível
  3. Se esta fórmula for a conclusão de um argumento sem premissas, esse argumento seria inválido.
  4. A negação desta fórmula é válida
  5. A negação dessa fórmula é satisfazível

Passo 1

O enunciado pede para analisar a fórmula
(p \rightarrow q)\vee(q \rightarrow r)
nos conceitos de validade (ser tautologia), satisfatibilidade e comportamento de argumento sem premissas, e também de sua negação.

Passo 2

Vamos montar a tabela-verdade de (p\rightarrow q)\vee(q\rightarrow r). Como p\rightarrow q é equivalente a \neg p\vee q e q\rightarrow r a \neg q\vee r, temos:
p q r p\rightarrow q q\rightarrow r (p\rightarrow q)\vee(q\rightarrow r)
V V V V V V
V V F V F V
V F V F T T
V F F F T T
F V V T T T
F V F T F T
F F V T T T
F F F T T T
Em todas as linhas a fórmula vale verdadeiro, logo é uma tautologia. Portanto, ela é válida.

Passo 3

Qualquer fórmula válida é também satisfazível (pois existe pelo menos uma interpretação — na verdade todas — em que ela é verdadeira). Logo, a fórmula é satisfazível.

Passo 4

Um argumento sem premissas que conclua uma fórmula é válido se e somente se essa fórmula for tautologia. Como aqui a conclusão é uma tautologia, o argumento sem premissas seria válido. Logo, a afirmativa de que seria inválido é falsa.

Passo 5

A negação da fórmula é
\neg\bigl[(p\rightarrow q)\vee(q\rightarrow r)\bigr] \equiv \neg(p\rightarrow q)\wedge\neg(q\rightarrow r) \equiv (p\wedge\neg q)\wedge(q\wedge\neg r).
Mas \neg q\wedge q é sempre falso, de modo que toda a conjunção é falsa em qualquer interpretação. Portanto a negação não é válida (não é tautologia) e tampouco é satisfazível.

Resposta

(1) e (2)

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