- (FGV) O custo diário de produção de um artigo é
, em que
é a quantidade diária produzida. Cada unidade do produto é vendida por
6,50$.
Entre que valores deve variar
para não haver prejuízo?
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado pede: “Entre que valores deve variar
para não haver prejuízo?”
Informações dadas pelo enunciado:
Informações dadas pelo enunciado:
onde
é a quantidade diária produzida.
Cada unidade é vendida por , ou seja, o preço por unidade é
.
Cada unidade é vendida por
Passo 2
Definimos a receita e o lucro. Receita diária
é preço vezes quantidade:
O lucro diário
é receita menos custo:
Passo 3
Substituímos as expressões de receita e custo na fórmula do lucro:
Agora simplificamos termo a termo:
Passo 4
Queremos não haver prejuízo, isto é lucro maior ou igual a zero:
Substituindo:
Para eliminar os decimais, multiplicamos ambos os lados por
. Atenção: como multiplicamos por número negativo, a desigualdade inverte o sentido:
Passo 5
Agora resolvemos a equação quadrática associada para encontrar as raízes:
Usamos a fórmula quadrática ou calculamos o discriminante
:
Como
, há duas raízes reais e distintas. As raízes são
Calculando cada uma:
Passo 6
Interpretação da desigualdade quadrática: a função
é um polinômio de grau 2 com coeficiente líder positivo, portanto forma uma parábola voltada para cima. A desigualdade
significa que procuramos os valores de
em que a parábola está em ou abaixo do eixo
, ou seja, entre as raízes. Assim, os
que satisfazem
são exatamente os
entre
e
, inclusive:
(Outra forma de ver: voltando ao lucro
, como seu termo
tem coeficiente negativo,
é uma parábola voltada para baixo e fica não negativa exatamente entre as raízes encontradas.)
Passo 7
Concluímos que, para não haver prejuízo, a produção diária
deve satisfazer
Resposta
b)