1. (FGV) O custo diário de produção de um artigo é \mathrm{C}=50+2 \mathrm{x}+0,1 \mathrm{x}^{2}, em que \mathbf{x} é a quantidade diária produzida. Cada unidade do produto é vendida por \mathrm{R} \ 6,50$.
Entre que valores deve variar \mathbf{x} para não haver prejuízo?
a) 19 \leq x \leq 24
b) 20 \leq x \leq 25
c) 21 \leq x \leq 26
d) 22 \leq \mathrm{x} \leq 27
e) 23 \leq \mathrm{x} \leq 28

Passo 1

O enunciado pede: “Entre que valores deve variar \mathbf{x} para não haver prejuízo?”
Informações dadas pelo enunciado:
\text{Custo: } \; C(x)=50+2x+0,1x^{2},
onde \;x é a quantidade diária produzida.
Cada unidade é vendida por \;R\$\,6,50, ou seja, o preço por unidade é \;6{,}50.

Passo 2

Definimos a receita e o lucro. Receita diária \;R(x) é preço vezes quantidade:
R(x)=6{,}50\;x.
O lucro diário \;L(x) é receita menos custo:
L(x)=R(x)-C(x).

Passo 3

Substituímos as expressões de receita e custo na fórmula do lucro:
L(x)=6{,}50x - \bigl(50+2x+0{,}1x^{2}\bigr).
Agora simplificamos termo a termo:
L(x)=6{,}50x - 50 - 2x - 0{,}1x^{2}.
L(x)=-0{,}1x^{2} + (6{,}50-2)x - 50.
L(x)=-0{,}1x^{2} + 4{,}5x - 50.

Passo 4

Queremos não haver prejuízo, isto é lucro maior ou igual a zero:
L(x)\ge 0.
Substituindo:
-0{,}1x^{2} + 4{,}5x - 50 \ge 0.
Para eliminar os decimais, multiplicamos ambos os lados por -10. Atenção: como multiplicamos por número negativo, a desigualdade inverte o sentido:
x^{2} - 45x + 500 \le 0.

Passo 5

Agora resolvemos a equação quadrática associada para encontrar as raízes:
x^{2}-45x+500=0.
Usamos a fórmula quadrática ou calculamos o discriminante \Delta:
\Delta = b^{2}-4ac = (-45)^{2}-4\cdot1\cdot500 = 2025-2000 = 25.
Como \Delta=25>0, há duas raízes reais e distintas. As raízes são
x=\frac{45\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{45\pm5}{2}.
Calculando cada uma:
x_{1}=\frac{45-5}{2}=\frac{40}{2}=20,
x_{2}=\frac{45+5}{2}=\frac{50}{2}=25.

Passo 6

Interpretação da desigualdade quadrática: a função f(x)=x^{2}-45x+500 é um polinômio de grau 2 com coeficiente líder positivo, portanto forma uma parábola voltada para cima. A desigualdade f(x)\le 0 significa que procuramos os valores de x em que a parábola está em ou abaixo do eixo x, ou seja, entre as raízes. Assim, os x que satisfazem
x^{2}-45x+500\le 0
são exatamente os x entre 20 e 25, inclusive:
20\le x \le 25.
(Outra forma de ver: voltando ao lucro L(x), como seu termo x^{2} tem coeficiente negativo, L(x) é uma parábola voltada para baixo e fica não negativa exatamente entre as raízes encontradas.)

Passo 7

Concluímos que, para não haver prejuízo, a produção diária \;x deve satisfazer
20\le x \le 25.

Resposta

b) 20 \le x \le 25

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