As seguintes funções são linearmente independentes no intervalo dado?
e^{a x}, e^{-a x} em qualquer intervalo

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as funções
f_1(x)=e^{a x},\quad f_2(x)=e^{-a x}
são linearmente independentes em qualquer intervalo real. Vamos usar o critério do Wronskiano, que diz que, se
\;W(f_1,f_2)(x)\neq 0
para todo x num intervalo, então f_1 e f_2 são linearmente independentes nesse intervalo.

Passo 2

Calculamos as derivadas:
f_1'(x)=a\,e^{a x}, \quad f_2'(x)=-a\,e^{-a x}.

Passo 3

O Wronskiano é definido por
W(f_1,f_2)(x) = \begin{vmatrix} f_1(x) & f_2(x)\\\ f_1'(x) & f_2'(x) \end{vmatrix} = f_1(x)\,f_2'(x) - f_2(x)\,f_1'(x).
Substituindo, obtemos
W(f_1,f_2)(x) = e^{a x}\bigl(-a\,e^{-a x}\bigr) - e^{-a x}\bigl(a\,e^{a x}\bigr) = - a - a = -2a.

Passo 4

Como -2a é constante e não depende de x, temos:
  • Se a\neq 0, então W(f_1,f_2)(x)=-2a\neq 0 para todo x, logo f_1 e f_2 são linearmente independentes em qualquer intervalo.
  • Se a=0, então f_1(x)=e^0=1 e f_2(x)=e^0=1, ou seja, elas coincidem e são linearmente dependentes.

Resposta

As funções e^{a x} e e^{-a x} são linearmente independentes em qualquer intervalo se, e somente se, a\neq 0. Se a=0, tornam-se dependentes.

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