As seguintes funções são linearmente independentes no intervalo dado?
em qualquer intervalo
Passo 1
O enunciado pede para verificar se as funções
são linearmente independentes em qualquer intervalo real. Vamos usar o critério do Wronskiano, que diz que, se
para todo
num intervalo, então
e
são linearmente independentes nesse intervalo.
Passo 2
Calculamos as derivadas:
Passo 3
O Wronskiano é definido por
Substituindo, obtemos
Passo 4
Como
é constante e não depende de
, temos:
- Se
, então para todo , logo e são linearmente independentes em qualquer intervalo. - Se
, então e , ou seja, elas coincidem e são linearmente dependentes.
Resposta
As funções
e
são linearmente independentes em qualquer intervalo se, e somente se,
. Se
, tornam-se dependentes.