Quais das seguintes integrais são impróprias? Justifique.
(a) integral0^2 raiz4-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para identificar se a integral
integral0^2raiz4 - x^2,dx
é imprópria. O conteúdo aqui é “integrais impróprias”, ou seja, devemos verificar se o intervalo de integração é infinito ou se o integrando tem descontinuidade ou tende ao infinito em algum ponto do intervalo.

Passo 2

Uma integral
integrala^bf(x),dx
é dita imprópria se pelo menos uma das situações ocorre:
  1. O intervalo [a,b] é ilimitado (ou seja, a ou b é infinito).
  2. A função f(x) não é contínua em algum ponto de [a,b] ou tende a pminfty em a, em b ou em algum ponto interior.

Passo 3

Aqui temos f(x)=raiz4-x^2 e o intervalo [0,2]:
  • O intervalo é finito, pois vai de 0 a 2.
  • A função raiz4-x^2 está bem definida para -2<= x<=2 e, em particular, é contínua em todo [0,2].
  • Nos extremos do intervalo temos f(0)=2 e f(2)=0, valores finitos, sem nenhuma singularidade.

Resposta

A integral
integral0^2raiz4 - x^2,dx
não é imprópria, pois o integrando é contínuo e limitado em um intervalo de extensão finita.

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