Nos seguintes itens considere os escalares sobre o corpo \mathbb{R}. Determine, caso existam, os autovalores e autovetores associados de T em cada caso. Nos caso afirmativos encontre o autoespaço associado ao autovalor encontrado.
A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 2 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ 2 & 1 & 1\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores de T\colon\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} representada pela matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\\\ 1 & 2 & 1\\\\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}
sobre o corpo \mathbb{R}, bem como os autoespaços associados. O conteúdo aqui é encontrar o polinômio característico de A, suas raízes (autovalores) e, para cada autovalor \lambda, resolver (A-\lambda I)x=0.

Passo 2

Escrevemos A - \lambda I e calculamos seu determinante para obter o polinômio característico:
A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 & 2\\\\ 1 & 2-\lambda & 1\\\\ 2 & 1 & 1-\lambda \end{pmatrix}.
O determinante é
\det(A - \lambda I) = -\bigl(\lambda^{3} - 4\lambda^{2} -\lambda + 4\bigr).

Passo 3

Fatorando o polinômio \lambda^{3} - 4\lambda^{2} -\lambda + 4, temos
\lambda^{3} - 4\lambda^{2} -\lambda + 4 = (\lambda-4)(\lambda^{2}-1) = (\lambda-4)(\lambda-1)(\lambda+1).
Logo, os autovalores são
\lambda = 4,\quad \lambda = 1,\quad \lambda = -1.

Passo 4

Para \lambda=4, resolvemos (A-4I)x=0:
\begin{pmatrix} -3 & 1 & 2\\\\ 1 & -2 & 1\\\\ 2 & 1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0.
Dessas equações surge z=y e x=y. Portanto todo vetor próprio é da forma
(x,y,z)=t\,(1,1,1),\;t\in\mathbb{R}.
O autoespaço associado a \lambda=4 é
E_{4}=\operatorname{span}\{(1,1,1)\}.

Passo 5

Para \lambda=1, resolvemos (A-I)x=0:
\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0.
Dessas equações obtém‐se y=-2z e x=z. Logo os vetores próprios são
(x,y,z)=s\,(1,-2,1),\;s\in\mathbb{R},
e
E_{1}=\operatorname{span}\{(1,-2,1)\}.

Passo 6

Para \lambda=-1, resolvemos (A+I)x=0:
\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2\\\\ 1 & 3 & 1\\\\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0.
Das equações vem y=0 e z=-x. Assim os vetores próprios são
(x,y,z)=r\,(1,0,-1),\;r\in\mathbb{R},
e
E_{-1}=\operatorname{span}\{(1,0,-1)\}.

Resposta

Os autovalores de A são
\lambda_{1}=4,\quad \lambda_{2}=1,\quad \lambda_{3}=-1.
Os autoespaços associados são
E_{4}=\span\{(1,1,1)\},\quad E_{1}=\span\{(1,-2,1)\},\quad E_{-1}=\span\{(1,0,-1)\}.

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