Nos seguintes itens considere os escalares sobre o corpo \mathbb{R}. Determine, caso existam, os autovalores e autovetores associados de T em cada caso. Nos caso afirmativos encontre o autoespaço associado ao autovalor encontrado.
A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 3 & -3 \\\\ 0 & 4 & 0 \\\\ -3 & 3 & 1\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede para calcular os autovalores e autovetores (e, portanto, os autoespaços) da transformação linear T\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 representada pela matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -3\\\\ 0 & 4 & 0\\\\ -3 & 3 & 1 \end{pmatrix}.
O conteúdo é o cálculo de polinômio característico, fatoração para achar os autovalores e resolução de sistemas lineares para encontrar os autovetores.

Passo 2

Para obter o polinômio característico, montamos
\det(A - \lambda I) =\det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 3 & -3\\\\ 0 & 4-\lambda & 0\\\\ -3 & 3 & 1-\lambda \end{pmatrix}.
Expandindo pela segunda linha (único elemento não nulo em (2,2)), temos
\det(A - \lambda I) =(4-\lambda)\det\begin{pmatrix} 1-\lambda & -3\\\\ -3 & 1-\lambda \end{pmatrix}.
Dentro do determinante de 2\times2:
\det\begin{pmatrix} 1-\lambda & -3\\\\ -3 & 1-\lambda \end{pmatrix} =(1-\lambda)^2 - 9.

Passo 3

Calculamos
(1-\lambda)^2 - 9 = \lambda^2 -2\lambda -8 = (\lambda-4)(\lambda+2).
Logo o polinômio característico é, até sinal,
(\lambda-4)^2(\lambda+2)=0,
de onde os autovalores são
\lambda_1 = 4\quad(\text{mult. alg. }2), \qquad \lambda_2 = -2\quad(\text{mult. alg. }1).

Passo 4

Para \lambda=4, montamos A - 4I:
A - 4I = \begin{pmatrix} -3 & 3 & -3\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ -3 & 3 & -3 \end{pmatrix}.
O sistema (A-4I)x=0 dá a equação única
-3x + 3y -3z = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x - y + z = 0.

Passo 5

Como há duas variáveis livres, escolhemos y = s e z = t. Daí
x = y - z = s - t,
e um vetor genérico do autoespaço é
(s-t,\,s,\,t) = s\,(1,1,0) \;+\; t\,(-1,0,1).
Logo uma base de E_4 é \{(1,1,0),\,(-1,0,1)\} e \dim E_4=2.

Passo 6

Para \lambda=-2, montamos A + 2I:
A + 2I = \begin{pmatrix} 3 & 3 & -3\\\\ 0 & 6 & 0\\\\ -3 & 3 & 3 \end{pmatrix}.
Do sistema (A+2I)x=0 vem
6y=0\;\Rightarrow\;y=0, \quad 3x -3z =0\;\Rightarrow\;x=z.
Logo tomamos z=t livre e x=t, y=0, de onde
(x,y,z) = t\,(1,0,1).
Uma base de E_{-2} é \{(1,0,1)\} e \dim E_{-2}=1.

Resposta

Os autovalores e seus respectivos autoespaços são:
(a) \lambda=4, autoespaço
E_{4} = \text{span}\{(1,1,0),\,(-1,0,1)\}.
(b) \lambda=-2, autoespaço
E_{-2} = \text{span}\{(1,0,1)\}.

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