Nos seguintes itens considere os escalares sobre o corpo \mathbb{R}. Determine, caso existam, os autovalores e autovetores associados de T em cada caso. Nos caso afirmativos encontre o autoespaço associado ao autovalor encontrado.
A=\left(\begin{array}{ccc}-1 & -4 & 14 \\\\ 2 & -7 & 14 \\\\ 2 & -4 & 11\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores (autoespaços) da transformação linear representada pela matriz
A=\begin{pmatrix} -1 & -4 & 14\\\\ 2 & -7 & 14\\\\ 2 & -4 & 11 \end{pmatrix}
sobre \mathbb{R}^3. Vamos calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I), encontrar suas raízes (autovalores) e, para cada valor \lambda, resolver (A-\lambda I)v=0 para obter os autovetores e descrever o autoespaço associado.

Passo 2

Calculamos o determinante de A-\lambda I. Seja
A-\lambda I = \begin{pmatrix} -1-\lambda & -4 & 14\\\\ 2 & -7-\lambda & 14\\\\ 2 & -4 & 11-\lambda \end{pmatrix}.
Fazendo a expansão, chega-se ao polinômio
\det(A-\lambda I) =-\lambda^3+3\lambda^2+45\lambda+81
ou, multiplicando por -1,
\lambda^3-3\lambda^2-45\lambda-81=0.

Passo 3

Procuramos raízes inteiras testando divisores de 81. Verificamos
9^3-3\cdot9^2-45\cdot9-81 =729-243-405-81=0,
logo \lambda=9 é raiz simples. Dividindo o polinômio por \lambda-9 obtemos
\lambda^3-3\lambda^2-45\lambda-81=(\lambda-9)(\lambda^2+6\lambda+9),
e \lambda^2+6\lambda+9=(\lambda+3)^2. Portanto os autovalores são
\lambda_1=9\quad(\text{multidade }1), \quad \lambda_2=-3\quad(\text{multiplicidade }2).

Passo 4

Para \lambda=9\) resolvemos \((A-9I)v=0\). A matriz fica \[A-9I = \begin{pmatrix} -10 & -4 & 14\\\\ 2 & -16 & 14\\\\ 2 & -4 & 2 \end{pmatrix},
que leva ao sistema (por exemplo)
\begin{cases} 5x+2y-7z=0,\\\ x-8y+7z=0,\\\ x-2y+z=0. \end{cases}
Da última equação x=2y-z\]. Substituindo nas outras, chega-se a \(z=y e então x=y. Logo
v=(x,y,z)=y\,(1,1,1),
e o autoespaço associado a \lambda=9 é
E_{9}=\operatorname{span}\{(1,1,1)\}.

Passo 5

Para \lambda=-3 resolvemos (A+3I)v=0. A matriz fica
A+3I = \begin{pmatrix} 2 & -4 & 14\\\\ 2 & -4 & 14\\\\ 2 & -4 & 14 \end{pmatrix},
cuja única equação independente é
2x-4y+14z=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x=2y-7z.
Tomando y=s e z=t livres, obtemos
v=(x,y,z)=(2s-7t,\;s,\;t)=s\,(2,1,0)+t\,(-7,0,1).
Portanto o autoespaço associado a \lambda=-3 é
E_{-3}=\operatorname{span}\{(2,1,0),\,(-7,0,1)\},
de dimensão 2, compatível com a multiplicidade algébrica de -3.

Resposta

Os autovalores de A são
\lambda_1=9,\quad \lambda_2=-3\\ (\text{multiplicidade }2).
Para \lambda=9, o autoespaço é
E_{9}=\{\,\alpha(1,1,1)\mid \alpha\in\mathbb{R}\}.
Para \lambda=-3, o autoespaço é
E_{-3}=\{\,s(2,1,0)+t(-7,0,1)\mid s,t\in\mathbb{R}\}.

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