Nome: Fennanda Cruz Correia (1ª Questão (2,0 pontos) Considere o operador linear T, ℝ² → ℝ² definido por T(x, y)=(6x-2y,-2x+6y) e 𝒜={(1,0),(0,1)} base canônica do ℝ². Determine se a matriz T]𝒜 é diagonalizável por uma matriz ortogonal, justificando sua resposta. E , caso seja determine-a.
Passo 1
O enunciado dá um operador linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definido por
T(x,y) = (6x-2y,\,-2x+6y)
e a base canônica \mathcal{A}=\{(1,0),(0,1)\}. Pergunta-se:
Se a matriz [T]_{\mathcal{A}} é diagonalizável por uma matriz ortogonal (ou seja, existe Q ortogonal tal que Q^{T}[T]_{\mathcal{A}}Q é diagonal);
Caso seja, determine essa diagonalização (matriz ortogonal e matriz diagonal).
Informações relevantes dadas:
A ação de T nos vetores canônicos indica imediatamente os coeficientes da matriz de T na base canônica (cada coluna é a imagem de um vetor da base).
Os coeficientes numéricos na definição de T são 6 e -2, que aparecerão na matriz.
Passo 2
Formar a matriz de T na base canônica: a imagem de (1,0) é (6,-2) e a imagem de (0,1) é (-2,6). Logo a matriz é
Portanto A é uma matriz real simétrica. Lembrete teórico (importante e útil na prova): para matrizes reais simétricas vale o Teorema Espectral: toda matriz real simétrica é diagonalizável por uma matriz ortogonal; isto é, existe uma base ortonormal de autovetores e uma matriz ortogonal Q tal que
Q^{T}A Q = D,
onde D é diagonal com os autovalores. Então, com essa observação, a resposta será “sim” — resta encontrar os autovalores e autovetores explicitamente para obter Q e D.
Passo 4
Calcular os autovalores resolvendo o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0. Primeiro escrevo A-\lambda I:
A-\lambda I = \begin{pmatrix}6-\lambda & -2 \\\\ -2 & 6-\lambda\end{pmatrix}.
Por construção q_1 e q_2 são ortonormais (q_i\cdot q_j = 0 para i\neq j e \|q_i\|=1) e são autovetores de A com autovalores correspondentes \lambda_1=4 e \lambda_2=8.]
Passo 8
Construir a matriz ortogonal Q cujas colunas são q_1,q_2, e a matriz diagonal D com os autovalores na mesma ordem:
Q é ortogonal porque Q^{T}Q = I. Além disso, pelas propriedades de autovetores,
A q_1 = 4 q_1,\qquad A q_2 = 8 q_2,
o que implica
Q^{T} A Q = D
e, equivalentemente,
A = Q D Q^{T}.
Isso fornece explicitamente a diagonalização ortogonal de A.]
Passo 9
Interpretação final e incentivo: como A é simétrica mostramos que é ortogonalmente diagonalizável (Teorema Espectral), encontramos autovalores \lambda=4,8, os autovetores ortogonais (1,1) e (1,-1), e a matriz ortogonal Q com esses vetores normalizados que diagonaliza A. Mandando ver na prova: identifique simetria, calcule característico, resolva sistemas para autovetores, normalize — esse é o roteiro seguro.
Resposta
Sim. Uma matriz ortogonal que diagonaliza [T]_{\mathcal{A}} e a correspondente matriz diagonal são: