Quais das seguintes matrizes estão na forma linha degrau? Quais estão na forma linha degrau reduzida? \left[\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 0 & 0 & 1 & 2\end{array}\right]
verificar se A está na forma linha degrau (row echelon form);
verificar se A está na forma linha degrau reduzida (reduced row echelon form).]
Passo 2
Vamos lembrar, de modo bem prático e direto, o que cada forma exige.
Forma linha degrau (REF) — regras essenciais:
Todas as linhas nulas (se houver) aparecem em baixo.
Em cada linha não nula existe um primeiro elemento não nulo chamado de entrada principal (pivot).
A entrada principal de cada linha está mais à direita do que a entrada principal da linha acima.
Não é obrigatório, para REF, que a entrada principal seja 1 nem que as colunas de pivot tenham zeros em todas as outras posições.
Forma linha degrau reduzida (RREF) — além das condições da REF, exige-se:
Cada entrada principal é igual a 1.
Cada coluna que contém um pivô tem zeros em todas as outras entradas (ou seja, o pivô é o único número não nulo naquela coluna).
Essas definições são o que vamos aplicar passo a passo ao A.
Passo 3
Identificar as entradas principais (pivôs) em A.
Na primeira linha \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 4\end{bmatrix}, o primeiro elemento não nulo aparece na coluna 1 e vale 1. Então o pivô da linha 1 está em \text{coluna }1.
Na segunda linha \begin{bmatrix}0 & 0 & 1 & 2\end{bmatrix}, o primeiro elemento não nulo aparece na coluna 3 e vale 1. Então o pivô da linha 2 está em \text{coluna }3.
Agora verificamos as condições da REF:
Não há linhas nulas, portanto a condição 1 (linhas nulas embaixo) está ok.
O pivô da segunda linha está na coluna 3, que é à direita da coluna 1 (pivô da primeira linha). Logo a condição de “cada pivô mais à direita que o da linha anterior” está satisfeita.
As entradas principais são não nulas (são 1), então tudo certo.
Conclusão deste passo: A satisfaz as condições da forma linha degrau (REF).
Passo 4
Agora verificamos as condições adicionais para ser forma linha degrau reduzida (RREF).
Requisitos a checar:
Cada pivô deve ser igual a 1. (No nosso caso, ambos os pivôs já são 1.)
Em cada coluna de pivô, todas as outras entradas (acima e abaixo) devem ser 0.
Examinando a coluna do pivô da segunda linha (coluna 3):
Os elementos da coluna 3 são \begin{bmatrix}3\\[2pt]1\end{bmatrix}: o elemento acima do pivô (linha 1, coluna 3) é 3, que NÃO é zero. Portanto a coluna do pivô da linha 2 não tem zeros em todas as outras posições.
Por isso a condição necessária para RREF falha: há um 3 acima do pivô na coluna 3.
Conclusão deste passo: A NÃO está na forma linha degrau reduzida.]
Passo 5
(Comentário didático extra — como transformar em RREF na prova, passo a passo, caso precise.)
Para ilustrar rapidamente: podemos eliminar o 3 acima do pivô da segunda linha fazendo a operação de linha
na qual os pivôs continuam em colunas 1 e 3, ambos iguais a 1, e agora cada coluna de pivô tem zeros em todas as outras entradas. Essa matriz está em RREF. (Só um exemplo prático para aprender a fazer na prova.)]
Resposta
A matriz está na forma linha degrau: Sim.
A matriz está na forma linha degrau reduzida: Não.