As matrizes aumentadas a seguir estão na forma linha degrau. Em cada caso, indique se o sistema linear correspondente é consistente. Se o sistema tiver uma única solução, encontre-a. \left[\begin{array}{rrr|r}1 & -2 & 2 & -2 \\\\ 0 & 1 & -1 & 3 \\\\ 0 & 0 & 1 & 2\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado fornece a matriz aumentada já na forma linha degrau:
Explicação básica (conceitos que vou usar; anota aí como se fosse um resumo curto de aula):
Um sistema é consistente se houver pelo menos uma solução; é inconsistente se não houver solução.
Em uma matriz aumentada em forma linha degrau (row echelon), uma indicação direta de inconsistência é a presença de uma linha do tipo\left[0\\\ 0\\ \dots\\\ 0 \mid b\right]com b\neq 0. Isso representa a equação 0 = b, impossível.
Um “pivô” ou “leading 1” é o primeiro elemento não nulo numa linha (da esquerda para a direita). Cada pivô corresponde a uma variável líder (não livre).
Se houver um pivô em cada coluna de variáveis (ou seja, número de pivôs = número de variáveis), então não existem variáveis livres e, se o sistema é consistente, a solução é única.
Método prático para resolver quando a matriz está em linha degrau: usar substituição regressiva (back-substitution): resolver a última equação para a última variável, substituir na anterior, e assim por diante.
Passo 3
Identificar pivôs e checar se há linha contraditória:
Observando a matriz, os pivôs são:
primeira linha: pivô em coluna de x_{1} (valor 1);
segunda linha: pivô em coluna de x_{2} (valor 1);
terceira linha: pivô em coluna de x_{3} (valor 1).
Não há nenhuma linha do tipo \left[0\\\ 0\\\ 0 \mid b\right] com b\neq 0. Portanto NÃO existe a equação impossível 0=b.
Há exatamente três pivôs e três variáveis (x_{1},x_{2},x_{3}), isto é, todas as variáveis são líderes (nenhuma variável livre).
Conclusão desta etapa: o sistema é consistente e, por não haver variáveis livres, a solução (se existir) será única. Agora vamos encontrá‑la por substituição regressiva.
Passo 4
Escrever as equações explicitamente (pegando os coeficientes da matriz):
Equação (1): x_{1} - 2x_{2} + 2x_{3} = -2.
Equação (2): x_{2} - x_{3} = 3.
Equação (3): x_{3} = 2.
Explicando o porquê da ordem: em substituição regressiva sempre começamos pela última equação (a mais simples), que normalmente envolve apenas uma variável porque a matriz está em linha degrau.
Passo 5
Resolver por substituição regressiva, passo a passo:
Da equação (3) temos diretamentex_{3} = 2.(É só ler a última linha: coeficiente 1 para x_{3} e termo independente 2.)
Substituir x_{2} e x_{3} na equação (1): \;x_{1} - 2x_{2} + 2x_{3} = -2.
Primeiro calcule os termos com valores:-2x_{2} = -2\cdot 5 = -10,\qquad 2x_{3} = 2\cdot 2 = 4.Então a equação ficax_{1} - 10 + 4 = -2.Simplificando o lado esquerdo:x_{1} - 6 = -2.Isolando x_{1}:x_{1} = -2 + 6 = 4.
Passo 6
Interpretação final e checagem:
Encontramos x_{1}=4, x_{2}=5, x_{3}=2.
Não houve contradição em nenhuma linha, e todas as variáveis foram determinadas sem ambiguidade (nenhuma variável livre). Portanto o sistema é consistente e tem solução única.