As matrizes aumentadas a seguir estão na forma linha degrau. Em cada caso, indique se o sistema linear correspondente é consistente. Se o sistema tiver uma única solução, encontre-a. \left[\begin{array}{rrr|r}1 & -2 & 4 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá a matriz aumentada já na forma linha degrau:
Indicar se o sistema linear correspondente é consistente.
Se houver uma única solução, encontrá-la. (Se não for única, apresentar a família de soluções.)
Informações relevantes dadas:
A matriz é a matriz aumentada de um sistema com três incógnitas \,x_1,x_2,x_3.
As linhas correspondem, em ordem, às equações do sistema (já em forma simplificada).
Passo 2
Interpretar a matriz aumentada como sistema de equações. Cada linha dá uma equação:
Primeira linha:
1\cdot x_1 + (-2)\cdot x_2 + 4\cdot x_3 = 1,
ou seja
x_1 - 2x_2 + 4x_3 = 1.
Segunda linha:
0\cdot x_1 + 0\cdot x_2 + 1\cdot x_3 = 3,
ou seja
x_3 = 3.
Terceira linha:
0\cdot x_1 + 0\cdot x_2 + 0\cdot x_3 = 0,
ou seja a equação \,0=0, que não impõe restrição adicional.
Passo 3
Condição de consistência: um sistema é inconsistente se existir uma linha do tipo
0\;0\;0\mid b
com b\neq 0 (pois isso representa 0=b, impossível). Aqui a terceira linha é \,0=0 com b=0, então não há contradição. Portanto o sistema é consistente (tem pelo menos uma solução).
Passo 4
Analisar pivôs e variáveis livres para decidir unicidade. Os pivôs (colunas com leading ones nas linhas não nulas) aparecem nas colunas 1 e 3:
Coluna 1 tem pivô na linha 1 (logo x_1 é variável básica).
Coluna 3 tem pivô na linha 2 (logo x_3 é variável básica).
Coluna 2 não tem pivô, logo x_2 é variável livre.
Como há menos pivôs (2) que variáveis (3), o sistema não tem solução única: terá infinitas soluções parameterizadas pela variável livre x_2.
Passo 5
Usar a equação da segunda linha para obter x_3:
x_3 = 3.
Passo 6
Substituir \,x_3=3 na primeira equação para resolver x_1 em função de x_2:
x_1 - 2x_2 + 4x_3 = 1.
Substituindo \,x_3=3:
x_1 - 2x_2 + 4\cdot 3 = 1.
Calcular 4\cdot 3:
4\cdot 3 = 12,
logo
x_1 - 2x_2 + 12 = 1.
Isolando x_1:
x_1 = 1 -12 + 2x_2 = 2x_2 -11.
Passo 7
Introduzir parâmetro para a variável livre. Seja t\in\mathbb{R} tal que