As matrizes aumentadas a seguir estão na forma linha degrau. Em cada caso, indique se o sistema linear correspondente é consistente. Se o sistema tiver uma única solução, encontre-a.
\left[\begin{array}{rrr|r}1 & -2 & 4 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz aumentada já na forma linha degrau:
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -2 & 4 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]
O que se pede:
  • Indicar se o sistema linear correspondente é consistente.
  • Se houver uma única solução, encontrá-la. (Se não for única, apresentar a família de soluções.)
Informações relevantes dadas:
  • A matriz é a matriz aumentada de um sistema com três incógnitas \,x_1,x_2,x_3.
  • As linhas correspondem, em ordem, às equações do sistema (já em forma simplificada).

Passo 2

Interpretar a matriz aumentada como sistema de equações. Cada linha dá uma equação:
Primeira linha:
1\cdot x_1 + (-2)\cdot x_2 + 4\cdot x_3 = 1,
ou seja
x_1 - 2x_2 + 4x_3 = 1.
Segunda linha:
0\cdot x_1 + 0\cdot x_2 + 1\cdot x_3 = 3,
ou seja
x_3 = 3.
Terceira linha:
0\cdot x_1 + 0\cdot x_2 + 0\cdot x_3 = 0,
ou seja a equação \,0=0, que não impõe restrição adicional.

Passo 3

Condição de consistência: um sistema é inconsistente se existir uma linha do tipo
0\;0\;0\mid b
com b\neq 0 (pois isso representa 0=b, impossível). Aqui a terceira linha é \,0=0 com b=0, então não há contradição. Portanto o sistema é consistente (tem pelo menos uma solução).

Passo 4

Analisar pivôs e variáveis livres para decidir unicidade. Os pivôs (colunas com leading ones nas linhas não nulas) aparecem nas colunas 1 e 3:
  • Coluna 1 tem pivô na linha 1 (logo x_1 é variável básica).
  • Coluna 3 tem pivô na linha 2 (logo x_3 é variável básica).
  • Coluna 2 não tem pivô, logo x_2 é variável livre.
Como há menos pivôs ( 2) que variáveis ( 3), o sistema não tem solução única: terá infinitas soluções parameterizadas pela variável livre x_2.

Passo 5

Usar a equação da segunda linha para obter x_3:
x_3 = 3.

Passo 6

Substituir \,x_3=3 na primeira equação para resolver x_1 em função de x_2:
x_1 - 2x_2 + 4x_3 = 1.
Substituindo \,x_3=3:
x_1 - 2x_2 + 4\cdot 3 = 1.
Calcular 4\cdot 3:
4\cdot 3 = 12,
logo
x_1 - 2x_2 + 12 = 1.
Isolando x_1:
x_1 = 1 -12 + 2x_2 = 2x_2 -11.

Passo 7

Introduzir parâmetro para a variável livre. Seja t\in\mathbb{R} tal que
x_2 = t.
Então as soluções gerais são:
x_1 = 2t - 11,\qquad x_2 = t,\qquad x_3 = 3.
Uma forma vetorial útil é
\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\\[4pt]x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-11\\[4pt]0\\[4pt]3\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}, \qquad t\in\mathbb{R}.]

Resposta

Consistente: sim.
Soluções: \displaystyle x_1 = 2t - 11,\; x_2 = t,\; x_3 = 3,\; t\in\mathbb{R}.

Exercícios relacionados