Quais das seguintes matrizes estão na forma linha degrau? Quais estão na forma linha degrau reduzida? \left[\begin{array}{lllll}1 & 0 & 0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 1 & 0 & 2 & 4 \\\\ 0 & 0 & 1 & 3 & 6\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede: identificar se a matriz abaixo está em forma linha degrau (row echelon form) e se está em forma linha degrau reduzida (reduced row echelon form). A matriz dada é a seguinte:
Informações relevantes que temos (tiradas diretamente do enunciado):
\text{dimensões de }A: 3\times5.õ
As entradas de cada linha (linha 1, linha 2, linha 3) são exatamente as mostradas na matriz acima.
Passo 2
Vou lembrar de forma clara e didática o que significa cada uma das duas formas (sem resolver ainda): as condições que uma matriz deve satisfazer.
Definição (forma linha degrau — regras principais a verificar):
Todas as linhas nulas (se houver) aparecem abaixo de todas as linhas não nulas.
O primeiro elemento não nulo de cada linha não nula — chamado de pivô ou entrada líder — aparece estritamente à direita do primeiro elemento não nulo da linha acima. Em outras palavras, os pivôs “andam para a direita” à medida que descemos as linhas.
Todos os elementos abaixo de um pivô são zeros (não é exigido que sejam zeros acima do pivô nesta forma).
Definição (forma linha degrau reduzida — além das regras da forma linha degrau, exige-se):
4. Cada pivô deve ser igual a 1.
5. Cada pivô 1 é o único elemento não nulo em sua coluna (ou seja, além do 1 na posição do pivô, todos os demais elementos dessa coluna são zeros — tanto abaixo quanto acima do pivô).
Observação: colunas que não contêm pivôs (colunas livres) podem ter quaisquer valores; isso não impede que a matriz esteja em forma linha degrau reduzida.
Passo 3
Agora vamos verificar, passo a passo, as condições da forma linha degrau na matriz A.
Existem linhas nulas? Observando A, nenhuma das três linhas é a linha nula (todas têm pelo menos um elemento não nulo). Logo a condição “linhas nulas embaixo” está satisfeita (porque não há linhas nulas).
Identificar os pivôs (primeiros elementos não nulos de cada linha):
\begin{aligned} \text{linha 1: pivô} &= 1 \text{ na coluna }1,\\\ \text{linha 2: pivô} &= 1 \text{ na coluna }2,\\\ \text{linha 3: pivô} &= 1 \text{ na coluna }3. \end{aligned}ôôô
Perceba que os pivôs aparecem nas colunas 1,2,3 respectivamente.
Verificar que cada pivô está estritamente à direita do pivô da linha acima: temos coluna 1 < 2 < 3, portanto cada pivô está corretamente mais à direita do que o pivô da linha anterior. Condição atendida.
Verificar que todos os elementos abaixo de cada pivô são zeros:
Abaixo do pivô da linha 1 (coluna 1) as entradas nas linhas 2 e 3 são 0 e 0. OK.
Abaixo do pivô da linha 2 (coluna 2) a entrada na linha 3 é 0. OK.
Abaixo do pivô da linha 3 não há linhas, logo OK.
Como todas as condições da definição de forma linha degrau foram satisfeitas, concluímos que A está em forma linha degrau.
Passo 4
Agora vamos verificar as condições adicionais que caracterizam a forma linha degrau reduzida (RREF).
Relembrando as condições extras:
Cada pivô deve ser 1.
Cada pivô 1 deve ser o único elemento não nulo na sua coluna (ou seja, zeros acima e abaixo do pivô).
Aplicando a verificação em A:
Os pivôs que identificamos são todos iguais a 1 (linha 1: 1, linha 2: 1, linha 3: 1). Portanto a primeira condição adicional está satisfeita.
Verificar se, em cada coluna de pivô, todos os outros elementos da coluna são zeros:
Coluna 1 (pivô na linha 1): a coluna é \begin{bmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{bmatrix}. Os outros elementos (linhas 2 e 3) são zeros. OK.
Coluna 2 (pivô na linha 2): a coluna é \begin{bmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{bmatrix}. Os demais são zeros. OK.
Coluna 3 (pivô na linha 3): a coluna é \begin{bmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{bmatrix}. Os demais são zeros. OK.
As colunas 4 e 5 contêm números não nulos, mas isso é permitido: são colunas de variáveis livres (não são colunas de pivô) e não impedem a forma reduzida.
Como ambas as condições adicionais são satisfeitas, concluímos que A está também em forma linha degrau reduzida.
Passo 5
Breve interpretação prática (como lembrar na prova): se uma matriz tem pivôs que são 1 e essas colunas de pivôs são “colunas-canônico” (ou seja, iguais a vetores canônicos e_i com zeros acima e abaixo), então a matriz é RREF. Se só há zeros abaixo dos pivôs e pivôs andando para a direita, ela é ao menos row echelon. Aqui as colunas de pivô são exatamente vetores canônicos e_1,e_2,e_3, então é RREF.
Resposta
A matriz está em forma linha degrau.
A matriz está em forma linha degrau reduzida.