Quais das seguintes matrizes estão na forma linha degrau? Quais estão na forma linha degrau reduzida? \left[\begin{array}{llll}0 & 1 & 3 & 4 \\\\ 0 & 0 & 1 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]
Quais das seguintes matrizes estão na forma linha degrau?
Quais estão na forma linha degrau reduzida?
Aqui só há uma matriz (a matriz A acima). Vou analisar passo a passo se A está na forma linha degrau (row echelon form) e se está na forma linha degrau reduzida (reduced row echelon form).
Passo 2
O que significa estar em forma linha degrau? Vou explicar de forma simples e com cuidado — pense nisso como um checklist que dá para aplicar em prova sem inventar nada.
Uma matriz está em forma linha degrau (REF) se, e somente se, todas as seguintes condições forem verdadeiras:
Todas as linhas constituídas só por zeros estão abaixo de todas as linhas que têm pelo menos um número não nulo.
Em cada linha não-nula, o primeiro elemento não nulo (chamado de entrada principal ou pivô) aparece mais à direita do que o pivô da linha imediatamente acima. Ou seja, os pivôs “andam para a direita” conforme se desce pelas linhas.
Todos os elementos abaixo de cada pivô são zeros (cada pivô tem zeros na mesma coluna nas linhas abaixo).
Explicando com calma:
“Linha só de zeros embaixo” significa que não pode haver uma linha não-nula abaixo de uma linha nula.
“Pivô mais à direita” significa que se o pivô da linha 1 está na coluna j, então o pivô da linha 2 deve estar em alguma coluna k>j.
Zeros abaixo do pivô: na coluna do pivô, todos os elementos que estão em linhas mais abaixo devem ser zero.
Passo 3
Agora aplico esse checklist à matriz dada. Vou pegar explicitamente os números da matriz A (os peguei do enunciado).
A linha 3 é a única totalmente nula e está embaixo das linhas 1 e 2. Então a condição 1 está satisfeita.
Verificação da condição 2 (pivôs mais à direita):
Na linha 1, o primeiro elemento não nulo é 1 na coluna 2. Ou seja, o pivô da linha 1 está na coluna 2.
Na linha 2, o primeiro elemento não nulo é 1 na coluna 3. Ou seja, o pivô da linha 2 está na coluna 3.
O pivô da linha 2 (coluna 3) está à direita do pivô da linha 1 (coluna 2), pois 3>2. Então a condição 2 está satisfeita.
Verificação da condição 3 (zeros abaixo de cada pivô):
Na coluna do pivô da linha 1 (coluna 2), os elementos abaixo são: linha 2 coluna 2 é 0, linha 3 coluna 2 é 0. Então todos zeros abaixo do pivô da linha 1.
Na coluna do pivô da linha 2 (coluna 3), o elemento abaixo é linha 3 coluna 3 que é 0. Então todos zeros abaixo do pivô da linha 2.
Portanto a condição 3 está satisfeita.
Como as três condições estão satisfeitas, a matriz A está em forma linha degrau (REF).
Passo 4
Breve pausa motivadora: ótimo — já conseguimos concluir que A é REF. Agora vamos para a forma reduzida e ver se A já está “completamente limpa” (ou se precisamos fazer uma operação rápida).
Passo 5
O que significa estar em forma linha degrau reduzida (RREF)? Outra listinha, com explicações fáceis:
Uma matriz está em forma linha degrau reduzida se, além de ser REF, satisfaz:
Cada pivô é 1. (Na prática, costuma-se normalizar a linha para que o primeiro elemento não nulo seja 1.)
Cada pivô é o único elemento não nulo na sua coluna — isto é, além de ter zeros abaixo (já garantido pela REF), também tem zeros acima. Em suma: na coluna do pivô só existe aquele 1 e zeros em todas as outras posições.
Explicando: em RREF, cada coluna de pivô tem um único 1 (o pivô) e todo o resto da coluna são zeros. Isso remove qualquer “resquício” acima dos pivôs que ainda pode existir na REF.
Passo 6
Agora aplico essas condições à matriz A novamente (pego os mesmos números do enunciado).
Os pivôs que identificamos são 1 na coluna 2 (linha 1) e 1 na coluna 3 (linha 2). Então a condição 1 para RREF (pivôs iguais a 1) já está satisfeita — ambos os pivôs valem 1.
Verifico a condição 2 para RREF (zeros acima e abaixo de cada pivô):
Para o pivô na coluna 2: a coluna 2 inteira é [1,0,0]^T. Já é somente o 1 e zeros acima/abaixo — ótimo.
Para o pivô na coluna 3: a coluna 3 é [3,1,0]^T. Note que há um 3 na linha 1, acima do pivô 1 que está na linha 2. Isso significa que a coluna 3 não tem zeros acima do pivô; há um valor não nulo (o 3) em cima. Portanto a condição 2 para RREF NÃO está satisfeita.
Conclusão parcial: A não está em forma linha degrau reduzida porque existe um elemento não nulo acima do pivô na coluna 3.
Passo 7
Para ilustrar como transformar A em RREF (útil para a prova), faço uma operação de linha simples para zerar aquele 3 acima do pivô da coluna 3. A operação natural é subtrair 3 vezes a linha 2 da linha 1:
\text{nova linha 1} = \text{linha 1} - 3\cdot\text{linha 2}.
Calculo componente a componente (peguei os números das linhas originais):
Verifico rapidamente as condições de RREF para A_{\text{RREF}}:
É REF (linhas zero embaixo, pivôs em colunas 2 e 3, etc.).
Os pivôs são 1.
Na coluna 2 a coluna é [1,0,0]^T e na coluna 3 a coluna é [0,1,0]^T: em ambas as colunas os pivôs são os únicos não zeros. Portanto A_{\text{RREF}} está em forma linha degrau reduzida.
Observação prática para a prova: quando verificar RREF, sempre olhe para cada coluna de pivô e cheque se há zeros tanto acima quanto abaixo — se houver algum número acima (ou abaixo) diferente de zero, faça a operação de linha adequada para zerá-lo.
Passo 8
Resumo final do raciocínio (sem repetir a resposta final formatada abaixo): a matriz original A satisfaz todas as condições de REF, mas falha numa condição de RREF porque há um 3 acima do pivô na coluna 3. Aplicando a operação L_1 \leftarrow L_1 - 3L_2 chega-se à matriz em RREF mostrada no passo anterior.
Resposta
A matriz está na forma linha degrau: sim.
A matriz está na forma linha degrau reduzida: não.