As matrizes aumentadas a seguir estão na forma linha degrau. Em cada caso, indique se o sistema linear correspondente é consistente. Se o sistema tiver uma única solução, encontre-a. \left[\begin{array}{ll|l}1 & 2 & 4 \\\\ 0 & 1 & 3 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede que, para o sistema linear representado pela matriz aumentada abaixo, se indique se o sistema é consistente e, se tiver uma única solução, que essa solução seja encontrada.
A matriz aumentada dada (peguei exatamente do enunciado) é
Como ler a matriz aumentada: cada linha corresponde a uma equação linear. As duas primeiras colunas são os coeficientes das variáveis e a coluna à direita da barra vertical é o termo independente (lado direito da igualdade). Para ficar explícito, vou chamar as variáveis de (x,y), isto é, a primeira coluna é o coeficiente de x e a segunda coluna é o coeficiente de y. Então, cada linha traduz-se em uma equação na forma padrão.
Explicação curta do que vamos fazer: transformar cada linha em uma equação e verificar se alguma linha dá uma contradição do tipo \,0 = b com b \neq 0. Se isso acontecer, o sistema é inconsistente (não tem solução). Se não acontecer e cada variável tiver um pivô (um coeficiente não nulo em uma coluna independente), então o sistema tem solução única e poderíamos usar substituição regressiva (back-substitution).
Passo 3
Converter cada linha em equação (cada linha escrita foi retirada diretamente da matriz):
Linha 1:
1\cdot x + 2\cdot y = 4,
ou seja
x + 2y = 4.
Linha 2:
0\cdot x + 1\cdot y = 3,
ou seja
y = 3.
Linha 3:
0\cdot x + 0\cdot y = 1,
ou seja
0 = 1.
Passo 4
Entender o que significa a equação \,0 = 1: uma equação que afirma que zero é igual a um número diferente de zero é logicamente impossível — não existe par (x,y) que satisfaça essa igualdade porque o lado esquerdo não depende de x nem de y e é sempre zero, enquanto o lado direito é fixo e igual a 1. Em termos de sistemas lineares, uma linha da forma
\left[\begin{array}{ccc|c} 0 & \cdots & 0 & b \end{array}\right]
com b\neq 0 indica uma contradição e, portanto, inconsistencia do sistema.
Passo 5
Aplicando essa regra ao nosso caso: a linha 3 fornece exatamente a forma \,0=1 com 1\neq 0. Logo há uma contradição explícita.
Passo 6
Conclusão lógica: como existe pelo menos uma equação contraditória (0=1), o sistema é inconsistente — isto é, não há nenhum vetor (x,y) que satisfaça todas as equações simultaneamente. Quando um sistema é inconsistente, ele não tem solução única nem infinitas soluções; simplesmente não tem solução.
Observação didática adicional (útil para prova): se a terceira linha tivesse sido [0\\\ 0\mid 0] em vez de [0\\\ 0\mid 1], então não haveria contradição; aí deveríamos verificar se há pivôs em todas as colunas de variáveis. Se houver pivô em cada coluna de variável (uma coluna sem pivô significa variável livre), então a solução é única; se alguma coluna de variável não tiver pivô e não houver contradição, então o sistema tem infinitas soluções. Um exemplo rápido e resolvido: a matriz