Um medicamento encontra-se no interior de um velho frasco de vidro. A boca está fechada com uma rolha de borracha cilíndrica que tem 20 mm de altura e 30 mm de diâmetro. A concentração molar do vapor do medicamento na rolha é de 2 \times 10^{-3} \mathrm{kmol} / \mathrm{m}^{3} na superfície inferior e é desprezível na superfície superior. Sendo a difusividade mássica do medicamento na borracha de 0,2 \times 10^{-9} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}, encontre a taxa ( \mathrm{kmol} / \mathrm{s} ) na qual o vapor sai pela rolha.

Passo 1

O enunciado pede a taxa molar (em \mathrm{kmol/s}) pela qual o vapor sai através da rolha. Os dados fornecidos são:
  • altura (espessura) da rolha: 20\\ \mathrm{mm} = 0,020\\ \mathrm{m}.
  • diâmetro da rolha: 30\\ \mathrm{mm} = 0,030\\ \mathrm{m}. Logo o raio é r=0,015\\ \mathrm{m}.
  • concentração molar na superfície inferior (lado do medicamento): \,c_1=2\times10^{-3}\\ \mathrm{kmol/m^{3}}\,.
  • concentração na superfície superior (lado externo) é desprezível: c_2\approx0.
  • difusividade mássica na borracha: \,D=0,2\times10^{-9}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
O que se pede: a taxa molar total \dot{N} (em \mathrm{kmol/s}) que atravessa a rolha em regime estacionário.

Passo 2

Escolha do modelo físico e hipóteses (explicação didática)
  • Vamos modelar a difusão unidimensional ao longo do eixo axial da rolha (do interior para o exterior). Isso é razoável porque a rolha é um cilindro relativamente fino e o transporte principal é ao longo de sua altura.
  • Em regime estacionário e com fontes/sumidouros apenas nas faces, a distribuição de concentração ao longo do eixo é aproximadamente linear entre as duas superfícies (não há acúmulo de massa dentro do material).
  • A lei que descreve a taxa de transporte por difusão é a 1ª lei de Fick: o fluxo molar por unidade de área J (unidade \mathrm{kmol/(m^{2}\,s)}) é proporcional ao gradiente de concentração:
J = -D\,\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}x}.
Aqui D é a difusividade (em \mathrm{m^{2}/s}), c(x) é a concentração (em \mathrm{kmol/m^{3}}) e x é a coordenada ao longo da altura da rolha. Para um perfil linear entre c_1 e c_2 em um comprimento L, a magnitude do fluxo estacionário é
J = D\,\frac{c_1-c_2}{L}.
  • A taxa molar total \dot{N} (em \mathrm{kmol/s}) que sai é o fluxo multiplicado pela área de seção transversal A do cilindro:
\dot{N} = J\cdot A = D\,\frac{c_1-c_2}{L}\,A.
Vou usar essa fórmula e explicar cada termo ao calcular numericamente.

Passo 3

Cálculo da área da seção transversal da rolha
  • O raio é r=0,015\\ \mathrm{m}.
  • A área da seção transversal de um círculo é \;A=\pi r^{2}\;. Então:
A = \pi (0,015)^{2}.
Calculemos:
(0,015)^{2}=0,000225\quad\text{(m}^{2}\text{)},
A=\pi\times0,000225\approx0,000225\pi \approx 7,0686\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 4

Substituição na fórmula de fluxo e explicação das unidades
  • A diferença de concentração é \,c_1-c_2=2\times10^{-3}-0=2\times10^{-3}\\ \mathrm{kmol/m^{3}}.
  • O comprimento é L=0,020\\ \mathrm{m}.
  • A difusividade D=0,2\times10^{-9}\\ \mathrm{m^{2}/s}=2\times10^{-10}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
A expressão para a taxa molar é
\dot{N} = D\,\frac{c_1-c_2}{L}\,A.
Antes de calcular, verifique as unidades: \mathrm{m^{2}/s}\times\mathrm{kmol/m^{3}}\times\mathrm{m^{2}}/\mathrm{m} = \mathrm{kmol/s}. Está consistente.

Passo 5

Cálculo numérico passo a passo
  • Primeiro calcule D/L:
\frac{D}{L}=\frac{2\times10^{-10}}{0,020}=1\times10^{-8}\\ \mathrm{m/s}.
  • Depois o fluxo por unidade de área J:
J=\frac{D}{L}(c_1-c_2)=1\times10^{-8}\times2\times10^{-3}=2\times10^{-11}\\ \mathrm{kmol/(m^{2}\,s)}.
  • Finalmente a taxa total \dot{N}:
\dot{N}=J\cdot A=2\times10^{-11}\times7,0686\times10^{-4}\approx1,4137\times10^{-14}\\ \mathrm{kmol/s}.

Passo 6

Arredondamento e interpretação final
  • Arredondando para duas casas significativas (os dados originais têm aproximadamente duas): \dot{N}\approx1,4\times10^{-14}\\ \mathrm{kmol/s}.
  • Isso significa que a quantidade de vapor que escapa é extremamente pequena por segundo, devido à baixa difusividade e à pequena diferença de concentração.

Resposta

1,4\times10^{-14}\\ \mathrm{kmol/s}

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