Um medicamento encontra-se no interior de um velho frasco de vidro. A boca está fechada com uma rolha de borracha cilíndrica que tem 20 mm de altura e 30 mm de diâmetro. A concentração molar do vapor do medicamento na rolha é de
na superfície inferior e é desprezível na superfície superior. Sendo a difusividade mássica do medicamento na borracha de
, encontre a taxa (
) na qual o vapor sai pela rolha.
Passo 1
O enunciado pede a taxa molar (em
) pela qual o vapor sai através da rolha. Os dados fornecidos são:
- altura (espessura) da rolha:
. - diâmetro da rolha:
. Logo o raio é . - concentração molar na superfície inferior (lado do medicamento):
. - concentração na superfície superior (lado externo) é desprezível:
. - difusividade mássica na borracha:
.
O que se pede: a taxa molar total
(em
) que atravessa a rolha em regime estacionário.
Passo 2
Escolha do modelo físico e hipóteses (explicação didática)
- Vamos modelar a difusão unidimensional ao longo do eixo axial da rolha (do interior para o exterior). Isso é razoável porque a rolha é um cilindro relativamente fino e o transporte principal é ao longo de sua altura.
- Em regime estacionário e com fontes/sumidouros apenas nas faces, a distribuição de concentração ao longo do eixo é aproximadamente linear entre as duas superfícies (não há acúmulo de massa dentro do material).
- A lei que descreve a taxa de transporte por difusão é a 1ª lei de Fick: o fluxo molar por unidade de área
(unidade ) é proporcional ao gradiente de concentração:
Aqui
é a difusividade (em
),
é a concentração (em
) e
é a coordenada ao longo da altura da rolha. Para um perfil linear entre
e
em um comprimento
, a magnitude do fluxo estacionário é
- A taxa molar total
(em ) que sai é o fluxo multiplicado pela área de seção transversal do cilindro:
Vou usar essa fórmula e explicar cada termo ao calcular numericamente.
Passo 3
Cálculo da área da seção transversal da rolha
- O raio é
. - A área da seção transversal de um círculo é
. Então:
Calculemos:
Passo 4
Substituição na fórmula de fluxo e explicação das unidades
- A diferença de concentração é
. - O comprimento é
. - A difusividade
.
A expressão para a taxa molar é
Antes de calcular, verifique as unidades:
. Está consistente.
Passo 5
Cálculo numérico passo a passo
- Primeiro calcule
:
- Depois o fluxo por unidade de área
:
- Finalmente a taxa total
:
Passo 6
Arredondamento e interpretação final
- Arredondando para duas casas significativas (os dados originais têm aproximadamente duas):
- Isso significa que a quantidade de vapor que escapa é extremamente pequena por segundo, devido à baixa difusividade e à pequena diferença de concentração.