Qual das seguintes relações está correta, considerando gás ideal?
Escolha uma opção:
◯ a. \mathrm{CV}=\mathrm{R} /(\mathrm{y}-1)
◯ b. \mathrm{y}=\mathrm{cp} / \mathrm{cv}
◯ c. \mathrm{cp}=\mathrm{yR} /(\mathrm{y}-1)
◯ d. todas as mencionadas

Passo 1

O que o enunciado pede: escolher qual das relações listadas é correta, considerando gás ideal. As opções usam as grandezas:
  • c_v: capacidade térmica molar (ou específica) a volume constante;
  • c_p: capacidade térmica molar (ou específica) a pressão constante;
  • R: constante universal dos gases (ou constante do gás por unidade de massa, consistente com as unidades de c_p,c_v);
  • y: a letra usada no enunciado para a razão adiabática, isto é, y=\dfrac{c_p}{c_v}.
Dados relevantes fornecidos implicitamente pelo enunciado: trata-se de gás ideal e aparecem as relações entre c_p, c_v, R e y. O objetivo é verificar cada uma das três fórmulas (a), (b) e (c) e decidir se todas são verdadeiras (opção d) ou não.

Passo 2

Definições e ideias básicas que vamos usar (explicadas de maneira didática):
  • c_v é a variação da energia interna por unidade de temperatura à volume constante. Em termo diferencial, para gás ideal, c_v=\dfrac{du}{dT}, onde u é a energia interna por mol (ou por massa).
  • c_p é a variação da entalpia por unidade de temperatura à pressão constante: c_p=\dfrac{dh}{dT}, onde h é a entalpia por mol (ou por massa).
  • Para gás ideal a entalpia e a energia interna estão relacionadas por
h = u + R T,
porque h = u + p v e p v = R T (equação de estado do gás ideal).
  • A razão adiabática y está definida como
y=\frac{c_p}{c_v}.
(Isto é exatamente a opção (b) do enunciado.)

Passo 3

Derivar a relação de Mayer (passo fundamental):
a partir de h=u+RT derivando em relação a T obtemos
\frac{dh}{dT}=\frac{du}{dT}+R.
Pelo que c_p=\dfrac{dh}{dT} e c_v=\dfrac{du}{dT}, então obtemos a relação clássica de Mayer:
c_p = c_v + R.
Esta relação é fundamental para gases ideais e será usada para checar as opções.

Passo 4

Verificar a opção (b) diretamente:
a opção (b) afirma \,y=\dfrac{c_p}{c_v}\,. Isso coincide com a definição de razão adiabática que já escrevemos. Logo a opção (b) é correta.

Passo 5

Usar c_p=c_v+R e y=\dfrac{c_p}{c_v} para obter as fórmulas das opções (a) e (c).
Começando por escrever c_p em função de c_v e y:
c_p = y\,c_v.
Substituindo nesta igualdade em c_p=c_v+R
y\,c_v = c_v + R.
Isolando c_v:
(y-1)\,c_v = R \quad\Longrightarrow\quad c_v = \frac{R}{y-1}.
Isto coincide exatamente com a opção (a). Portanto (a) é correta.

Passo 6

Agora obter c_p em função de y e R:
usando c_p = y\,c_v e a expressão anterior para c_v,
c_p = y \cdot \frac{R}{y-1} = \frac{yR}{y-1}.
Isto coincide exatamente com a opção (c). Portanto (c) é correta.

Passo 7

Conclusão lógica: mostramos que
  • (b) é a definição de y;
  • (a) decorre de c_p-c_v=R e da definição de y;
  • (c) decorre das duas anteriores.
Logo as três fórmulas (a), (b) e (c) são verdadeiras para um gás ideal.

Resposta

(d)

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