Qual das seguintes relações está correta, considerando gás ideal?
Escolha uma opção:
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d. todas as mencionadas
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d. todas as mencionadas
Passo 1
O que o enunciado pede: escolher qual das relações listadas é correta, considerando gás ideal. As opções usam as grandezas:
-
: capacidade térmica molar (ou específica) a volume constante; -
: capacidade térmica molar (ou específica) a pressão constante; -
: constante universal dos gases (ou constante do gás por unidade de massa, consistente com as unidades de ); -
: a letra usada no enunciado para a razão adiabática, isto é, .
Dados relevantes fornecidos implicitamente pelo enunciado: trata-se de gás ideal e aparecem as relações entre
,
,
e
. O objetivo é verificar cada uma das três fórmulas (a), (b) e (c) e decidir se todas são verdadeiras (opção d) ou não.
Passo 2
Definições e ideias básicas que vamos usar (explicadas de maneira didática):
-
é a variação da energia interna por unidade de temperatura à volume constante. Em termo diferencial, para gás ideal, , onde é a energia interna por mol (ou por massa). -
é a variação da entalpia por unidade de temperatura à pressão constante: , onde é a entalpia por mol (ou por massa). - Para gás ideal a entalpia e a energia interna estão relacionadas por
porque
e
(equação de estado do gás ideal).
- A razão adiabática
está definida como
(Isto é exatamente a opção (b) do enunciado.)
Passo 3
Derivar a relação de Mayer (passo fundamental):
a partir de derivando em relação a
obtemos
a partir de
Pelo que
e
, então obtemos a relação clássica de Mayer:
Esta relação é fundamental para gases ideais e será usada para checar as opções.
Passo 4
Verificar a opção (b) diretamente:
a opção (b) afirma . Isso coincide com a definição de razão adiabática que já escrevemos. Logo a opção (b) é correta.
a opção (b) afirma
Passo 5
Usar
e
para obter as fórmulas das opções (a) e (c).
Começando por escrever
em função de
e
:
Substituindo nesta igualdade em
dá
Isolando
:
Isto coincide exatamente com a opção (a). Portanto (a) é correta.
Passo 6
Agora obter
em função de
e
:
usando e a expressão anterior para
,
usando
Isto coincide exatamente com a opção (c). Portanto (c) é correta.
Passo 7
Conclusão lógica: mostramos que
- (b) é a definição de
; - (a) decorre de
e da definição de ; - (c) decorre das duas anteriores.
Logo as três fórmulas (a), (b) e (c) são verdadeiras para um gás ideal.
Resposta
(d)