Explique, justificando, se as seguintes afirmações são verdadeiras, falsas ou ambígua:
Se fizermos uma regressão de Y_{i} \operatorname{contra} \widehat{Y}_{i}; (isto é, Y_{i} observado contra \widehat{Y}_{i} estimado), os valores do intercepto e do coeficiente angular serão 0 e l, respectivamente.
Passo 1
O que o enunciado pergunta e as informações dadas:
Pede para avaliar se, ao fazermos uma regressão de \,Y_i observado contra \,\widehat{Y}_i (isto é, ajustar o modelo \;Y_i=\alpha+\beta\widehat{Y}_i+u_i\;), os estimadores \hat\alpha e \hat\beta serão sempre \,0 e \,1, respectivamente.
Informação implícita no enunciado: não foi explicitado como foram obtidos os \widehat{Y}_i (por exemplo, se vieram de uma regressão por MQO com intercepto, sem intercepto, ou por outro método).
O enunciado não diz nada sobre \operatorname{Var}(\widehat{Y}) (se é zero ou não).
Passo 2
Escrevendo o problema de forma precisa e as fórmulas que vamos usar.
O ajuste que vamos considerar é
Y_i=\alpha+\beta\,\widehat{Y}_i+u_i.
As fórmulas usuais do MQO para os estimadores (com intercepto) são
onde \overline{Y}=\frac{1}{n}\sum_i Y_i e \overline{\widehat{Y}}=\frac{1}{n}\sum_i\widehat{Y}_i.
Para decidir se \hat\alpha=0 e \hat\beta=1 precisamos relacionar \sum(\widehat{Y}_i-\overline{\widehat{Y}})(Y_i-\overline{Y}) com \sum(\widehat{Y}_i-\overline{\widehat{Y}})^2.
Passo 3
Expressando Y_i em termos de \widehat{Y}_i e do resíduo do ajuste original.
Suponha que os \widehat{Y}_i vieram de uma regressão original por MQO (ou seja, \widehat{Y}=P Y, projeção de Y no espaço das colunas de X). Então escrevemos
Y_i=\widehat{Y}_i+e_i,
onde e_i são os resíduos do ajuste original.
Propriedades MQO úteis (e o que elas significam):
Os resíduos são ortogonais às colunas de X: X'e=0. Como \widehat{Y} está no espaço gerado por X, isso implica
\sum_{i=1}^n \widehat{Y}_i e_i = 0.Em palavras: o somatório dos produtos entre valores ajustados e resíduos é zero.
Se a regressão original incluiu intercepto, então os resíduos somam zero: \sum_{i=1}^n e_i = 0, ou seja \overline{e}=0. (Isto é padrão no MQO com constante.)
Passo 4
Derivando \hat\beta usando a decomposição Y=\widehat{Y}+e.
Calcule a covariância amostral entre \widehat{Y} e Y:
Se a regressão original foi por MQO e incluiu intercepto, então \sum \widehat{Y}_i e_i=0 e \overline{e}=0. Substituindo isso na expressão para S_{\widehat{Y},e} obtemos S_{\widehat{Y},e}=0. Portanto
S_{\widehat{Y},Y}=S_{\widehat{Y},\widehat{Y}}.
Assim o numerador de \hat\beta é igual ao denominador, e, desde que S_{\widehat{Y},\widehat{Y}}>0 (ou seja, \widehat{Y} não seja constante),
Se a regressão original incluiu intercepto, vale a propriedade \overline{\widehat{Y}}=\overline{Y} (os valores ajustados têm média igual à média de Y). Substituindo \hat\beta=1 e \overline{\widehat{Y}}=\overline{Y} obtemos
\hat\alpha=\overline{Y}-1\cdot\overline{Y}=0.
Conclusão sob essas hipóteses: \hat\alpha=0 e \hat\beta=1.
Passo 6
Explicando os casos em que a afirmação falha (ou é ambígua).
A demonstração da Passo 4–5 usou duas propriedades essenciais:
Os \widehat{Y}_i foram obtidos por MQO (projeção), de modo que \sum \widehat{Y}_i e_i=0.
A regressão original incluiu intercepto, de modo que \sum e_i=0 e \overline{\widehat{Y}}=\overline{Y}.
Se qualquer uma dessas condições não valer, os resultados podem falhar:
Se a regressão original NÃO incluiu intercepto, em geral \overline{e}\neq0 e \overline{\widehat{Y}}\neq\overline{Y}; então em geral \hat\beta\neq1 e \hat\alpha\neq0.
Se \widehat{Y} foi obtido por outro método que não seja projeção MQO (por exemplo, outro estimador, regularização como ridge, um modelo não linear, ou predições condicionais por método diferente), a ortogonalidade entre \widehat{Y} e os resíduos do modelo que gerou \widehat{Y} pode não existir e portanto \hat\beta não precisa ser 1.
Se \widehat{Y} for constante (variância zero), o denominador na fórmula de \hat\beta é zero e a regressão de Y em \widehat{Y} com intercepto é degenerada (slope indefinido).
Portanto a afirmação dada sem condições é imprecisa/ambígua: ela não é verdade “sempre”, mas é verdade sob as hipóteses padrão de MQO com intercepto e \operatorname{Var}(\widehat{Y})>0.
Passo 7
Resumo didático (como usar isso na prova — check-list rápido)
Se na prova for dito explicitamente que \widehat{Y} vem de uma regressão por MQO que incluiu constante, então pode-se responder que ao regredir Y sobre \widehat{Y} obtém-se intercepto 0 e coeficiente angular 1. Ao justificar, cite: decomposição Y=\widehat{Y}+e, ortogonalidade \sum\widehat{Y}_i e_i=0 e igualdade de médias \overline{\widehat{Y}}=\overline{Y}.
Caso não tenha essa hipótese (por exemplo, não mencionaram intercepto ou o método de estimação), diga que não há razão para garantir \hat\alpha=0,\hat\beta=1; então a afirmativa é falsa/ambígua sem mais informação.
Resposta
Afirmativa verdadeira se \widehat{Y} vem de uma regressão por MQO que inclui intercepto (e \operatorname{Var}(\widehat{Y})>0); falsa em geral (se a regressão original não teve intercepto, se \widehat{Y} foi obtido por outro método, ou se \widehat{Y} é constante).