Explique, justificando, se as seguintes afirmações são verdadeiras, falsas ou ambígua:
Se fizermos uma regressão de Y_{i} \operatorname{contra} \widehat{Y}_{i}; (isto é, Y_{i} observado contra \widehat{Y}_{i} estimado), os valores do intercepto e do coeficiente angular serão 0 e l, respectivamente.

Passo 1

O que o enunciado pergunta e as informações dadas:
  • Pede para avaliar se, ao fazermos uma regressão de \,Y_i observado contra \,\widehat{Y}_i (isto é, ajustar o modelo \;Y_i=\alpha+\beta\widehat{Y}_i+u_i\;), os estimadores \hat\alpha e \hat\beta serão sempre \,0 e \,1, respectivamente.
  • Informação implícita no enunciado: não foi explicitado como foram obtidos os \widehat{Y}_i (por exemplo, se vieram de uma regressão por MQO com intercepto, sem intercepto, ou por outro método).
  • O enunciado não diz nada sobre \operatorname{Var}(\widehat{Y}) (se é zero ou não).

Passo 2

Escrevendo o problema de forma precisa e as fórmulas que vamos usar.
  • O ajuste que vamos considerar é
Y_i=\alpha+\beta\,\widehat{Y}_i+u_i.
  • As fórmulas usuais do MQO para os estimadores (com intercepto) são
\hat\beta=\frac{\sum_{i=1}^n(\widehat{Y}_i-\overline{\widehat{Y}})(Y_i-\overline{Y})}{\sum_{i=1}^n(\widehat{Y}_i-\overline{\widehat{Y}})^2} \qquad\text{e}\qquad \hat\alpha=\overline{Y}-\hat\beta\,\overline{\widehat{Y}},
onde \overline{Y}=\frac{1}{n}\sum_i Y_i e \overline{\widehat{Y}}=\frac{1}{n}\sum_i\widehat{Y}_i.
  • Para decidir se \hat\alpha=0 e \hat\beta=1 precisamos relacionar \sum(\widehat{Y}_i-\overline{\widehat{Y}})(Y_i-\overline{Y}) com \sum(\widehat{Y}_i-\overline{\widehat{Y}})^2.

Passo 3

Expressando Y_i em termos de \widehat{Y}_i e do resíduo do ajuste original.
  • Suponha que os \widehat{Y}_i vieram de uma regressão original por MQO (ou seja, \widehat{Y}=P Y, projeção de Y no espaço das colunas de X). Então escrevemos
Y_i=\widehat{Y}_i+e_i,
onde e_i são os resíduos do ajuste original.
  • Propriedades MQO úteis (e o que elas significam):
    • Os resíduos são ortogonais às colunas de X: X'e=0. Como \widehat{Y} está no espaço gerado por X, isso implica
    \sum_{i=1}^n \widehat{Y}_i e_i = 0.Em palavras: o somatório dos produtos entre valores ajustados e resíduos é zero.
    • Se a regressão original incluiu intercepto, então os resíduos somam zero: \sum_{i=1}^n e_i = 0, ou seja \overline{e}=0. (Isto é padrão no MQO com constante.)

Passo 4

Derivando \hat\beta usando a decomposição Y=\widehat{Y}+e.
  • Calcule a covariância amostral entre \widehat{Y} e Y:
\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(\widehat{Y}_i-\overline{\widehat{Y}})(Y_i-\overline{Y}) =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(\widehat{Y}_i-\overline{\widehat{Y}})(\widehat{Y}_i-\overline{\widehat{Y}})+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(\widehat{Y}_i-\overline{\widehat{Y}})(e_i-\overline{e}).
Em notação curta:
S_{\widehat{Y},Y}=S_{\widehat{Y},\widehat{Y}}+S_{\widehat{Y},e}.
  • Se a regressão original foi por MQO e incluiu intercepto, então \sum \widehat{Y}_i e_i=0 e \overline{e}=0. Substituindo isso na expressão para S_{\widehat{Y},e} obtemos S_{\widehat{Y},e}=0. Portanto
S_{\widehat{Y},Y}=S_{\widehat{Y},\widehat{Y}}.
  • Assim o numerador de \hat\beta é igual ao denominador, e, desde que S_{\widehat{Y},\widehat{Y}}>0 (ou seja, \widehat{Y} não seja constante),
\hat\beta=\frac{S_{\widehat{Y},Y}}{S_{\widehat{Y},\widehat{Y}}}=1.

Passo 5

Derivando \hat\alpha a partir de \hat\beta=1.
  • Usando a fórmula da intercepto:
\hat\alpha=\overline{Y}-\hat\beta\,\overline{\widehat{Y}}.
  • Se a regressão original incluiu intercepto, vale a propriedade \overline{\widehat{Y}}=\overline{Y} (os valores ajustados têm média igual à média de Y). Substituindo \hat\beta=1 e \overline{\widehat{Y}}=\overline{Y} obtemos
\hat\alpha=\overline{Y}-1\cdot\overline{Y}=0.
  • Conclusão sob essas hipóteses: \hat\alpha=0 e \hat\beta=1.

Passo 6

Explicando os casos em que a afirmação falha (ou é ambígua).
  • A demonstração da Passo 4–5 usou duas propriedades essenciais:
    1. Os \widehat{Y}_i foram obtidos por MQO (projeção), de modo que \sum \widehat{Y}_i e_i=0.
    2. A regressão original incluiu intercepto, de modo que \sum e_i=0 e \overline{\widehat{Y}}=\overline{Y}.
  • Se qualquer uma dessas condições não valer, os resultados podem falhar:
    • Se a regressão original NÃO incluiu intercepto, em geral \overline{e}\neq0 e \overline{\widehat{Y}}\neq\overline{Y}; então em geral \hat\beta\neq1 e \hat\alpha\neq0.
    • Se \widehat{Y} foi obtido por outro método que não seja projeção MQO (por exemplo, outro estimador, regularização como ridge, um modelo não linear, ou predições condicionais por método diferente), a ortogonalidade entre \widehat{Y} e os resíduos do modelo que gerou \widehat{Y} pode não existir e portanto \hat\beta não precisa ser 1.
    • Se \widehat{Y} for constante (variância zero), o denominador na fórmula de \hat\beta é zero e a regressão de Y em \widehat{Y} com intercepto é degenerada (slope indefinido).
  • Portanto a afirmação dada sem condições é imprecisa/ambígua: ela não é verdade “sempre”, mas é verdade sob as hipóteses padrão de MQO com intercepto e \operatorname{Var}(\widehat{Y})>0.

Passo 7

Resumo didático (como usar isso na prova — check-list rápido)
  • Se na prova for dito explicitamente que \widehat{Y} vem de uma regressão por MQO que incluiu constante, então pode-se responder que ao regredir Y sobre \widehat{Y} obtém-se intercepto 0 e coeficiente angular 1. Ao justificar, cite: decomposição Y=\widehat{Y}+e, ortogonalidade \sum\widehat{Y}_i e_i=0 e igualdade de médias \overline{\widehat{Y}}=\overline{Y}.
  • Caso não tenha essa hipótese (por exemplo, não mencionaram intercepto ou o método de estimação), diga que não há razão para garantir \hat\alpha=0,\hat\beta=1; então a afirmativa é falsa/ambígua sem mais informação.

Resposta

Afirmativa verdadeira se \widehat{Y} vem de uma regressão por MQO que inclui intercepto (e \operatorname{Var}(\widehat{Y})>0); falsa em geral (se a regressão original não teve intercepto, se \widehat{Y} foi obtido por outro método, ou se \widehat{Y} é constante).

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