As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, determine os valores de x e y (quando houver y ) para os quais o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
\left(0,5\right. ponto) \left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\\ x & 5\end{array}\right], 1 única solução para qualquer \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right).

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix}2 & 3 \\\ x & 5\end{pmatrix}
e pede: “uma única solução para qualquer \boldsymbol{b}=(b_{1},b_{2})”.
Conteúdo necessário: para um sistema A\boldsymbol{u}=\boldsymbol{b} ter solução única, a matriz A deve ser invertível, isto é, seu determinante deve ser diferente de zero.

Passo 2

Calculamos o determinante de A:
\det(A) = 2\cdot 5 \;-\; 3\cdot x = 10 - 3x.
Para garantir invertibilidade, exigimos
10 - 3x \neq 0.
Resolvendo essa desigualdade, temos
3x \neq 10 \quad\Longrightarrow\quad x \neq \tfrac{10}{3}.

Resposta

Para que o sistema associado a
\displaystyle \begin{pmatrix}2 & 3 \\\ x & 5\end{pmatrix}
tenha sempre uma única solução, é necessário e suficiente que
x \neq \tfrac{10}{3}.

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